ИЗМЕНЕНИЕ КОНЦЕПЦИЙ ПРИРОДЫ НА РУБЕЖЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

Речь известного российского математика академика В.Арнольда,
прочитанная на заседании Папской академии в Ватикане в конце 1998 года.

В редакцию газеты "Наука в Сибири"
Считаю целесообразным публикацию интересной статьи академика В.И.Арнольда -- одного из крупнейших математиков нашего времени.
Содержащиеся в его статье мысли о недопустимости некритического восприятия опыта США в сфере образования представляются весьма актуальными.

Академик Ю.Г.Решетняк.


 

Я начну с описания примера математической теории, который легко объяснить нематематикам. Затем рассмотрю вопрос об антипатии общества к математике и закончу свое выступление несколькими замечаниями по проблемам русских математиков.

Я рассматриваю первую цифру числа, изображающего площадь страны. Эта цифра может быть 1,2,...,9. Распределение стран мира по первой цифре числа площади является очень неравномерным. Страны, для которых первая цифра есть 1, составляют около 30% от всех стран, и количество стран, для которых первая цифра есть 9, приблизительно в 6 раз меньше. Доли остальных цифр 2,...,8 постепенно уменьшаются от 18% до 5,1%.

Это распределение не зависит от единиц площади: вы можете измерять площади в квадратных километрах, квадратных милях или квадратных дюймах и т.д.

Это неравномерное распределение первых цифр уже наблюдалось во многих других случаях и известно как эмпирический закон Бенфорда.

Например, первые цифры популяций (численности населения) стран мира ведут себя аналогично.

Вклад математики в объяснение этих довольно таинственных эмпирических явлений основан на понятиях эргодической теории динамических систем.

Рассмотрим последовательность первых цифр степеней 2 (геометрической прогрессии со знаменателем 2 и начальным членом 1):

1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2,...

Единицы составляют прилизительно 30% этой последовательности. Плотность распределения девяток приблизительно в 6 раз меньше.

Эти математические факты можно строго доказать с помощью теории динамических систем.

А именно, возьмем окружность единичной длины. Зафиксируем начальный радиус окружности. Центральный угол между начальным радиусом и переменным радиусом будем отсчитывать в направлении против часовой стрелки. Величину угла будем измерять длиной стягивающей его дуги окружности, так что она будет возрастать от 0 до 1 за один оборот переменного радиуса. Если допускать произвольное количество оборотов прямо или обратно, то любое вещественное число может быть принято в качестве угла. Однако двум вещественным числам, разность которых является целым числом, соответствует одна и та же точка окружности. Другими словами, каждой точке окружности соответствует дробная часть числа.

Рассмотрим вращение этой окружности вокруг центра на заданный иррациональный угол. Повторяя вращение, можно получить из любой точки окружности последовательность точек -- орбиту определенной этим вращением динамической системы. Эта орбита независимо от выбора начальной точки равномерно распределяется вдоль окружности: относительное количество ее точек на каждой дуге равно длине этой дуги (эта теорема Г.Вейля была предшественницей общей эргодической теоремы Г.Д.Биркгофа). Строгое доказательство этой теоремы сложно. Но легко понять ее справедливость, построив достаточно много точек орбиты.

Применение этой теоремы к вращению на иррациональный угол, равный логарифму (по основанию 10) числа 2, дает странное распределение первых цифр степеней 2. Действительно, прологарифмировав степени 2, получим орбиту (с нулевой начальной точкой) динамической системы, определенной указанным вращением. А первая цифра числа зависит только от положения дробной части его логарифма на рассматриваемой окружности. Легко найти для каждой цифры соответствующую дугу окружности. Длины этих дуг дадут искомое распределение первых цифр.

Следует отметить, что дробные части логарифмов чисел, образующих геометрическую прогрессию (подобную степеням 2), образуют орбиту соответствующей динамической системы вращения окружности. Эта орбита равномерно распределена на этой окружности за исключением случая, когда угол вращения рационален (который соответствует прогрессии, чей знаменатель является рациональной степенью десяти). Что влечет то же самое странное неравномерное распределение первых цифр почти для любой геометрической прогрессии.

Этот математический результат дает некоторое объяснение распределению первых цифр популяций стран мира. По закону Мальтуса, числа популяций стран в различные годы образуют геометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры этих чисел подтверждают странное распределение с приблизительно 30% единиц.

Согласно эргодическому принципу, можно заменить статистику эволюции во времени отдельной страны одновременной пространственной статистикой популяций различных стран. Таким образом, распределение первых цифр популяций стран мира должно быть таким же самым, как и распределение первых цифр степеней 2.

Чтобы получить распределение площадей, нужно принять некоторую модель эволюции мирового разделения. В самой простой модели каждая страна подразделяется на две равные области и (в единицу времени) с вероятностью 50% одна из них объединяется с другой страной или остается в той же самой. Т.е. в среднем четверть своей территории теряется, а четверть чужой присоединяется. Но надо еще уточнить, кому страна уступает свои земли, а чьи захватывает. Для этого мысленно расположим страны в ряд и предположим, что в течение единицы времени каждая страна, кроме крайних, четвертую часть своей площади отдает правому соседу и отбирает у левого соседа его четверть. Самой левой стране отбирать земли не у кого (а четверть своей приходится отдавать правому соседу). Поэтому ее площадь уменьшается со временем по геометрической прогрессии, но медленнее, чем могла бы за счет освоения ничейных территорий. Крайняя справа страна бросает четверть своих земель, пришедших в негодность. Кажется правдоподобным, что описанная простейшая модель качественно правильно описывает процессы мирового разделения на начальных этапах исторического развития.

Для упрощенной модели можно точно доказать, что странное неравномерное распределение первых цифр должно возникать после нескольких единиц времени. Предположительно эта теорема также справедлива для большого класса обобщенных моделей. Например, можно было бы заменить 50% другой вероятностью подразделения, можно было также сделать части неравными и к тому же можно было учитывать географическое распределение.

Недавно (1997г.) исследователи М.Кесина (Торонто) и Ф.Айкарди (Триест) с помощью компьютера провели эксперименты с этими обобщенными моделями. После нескольких итераций наблюдается странное распределение первых цифр площадей. Однако соответствующая предельная теорема все еще не доказана.

Расцвету математики в настоящее время угрожает общая тенденция: подавление науки и научного образования и обществом и правительствами. Эта ситуация схожа с историей древнегреческой культуры, разрушенной Римской Империей, которая была заинтересована только в конечных результатах, необходимых для военных прикладных задач, навигации и архитектуры.

Американизация общества в большинстве стран, которая наблюдается в настоящее время, могла бы привести к аналогичному уничтожению науки и культуры современного человечества.

...Лиз изучала историю искусства в Гарварде. На уроке французского языка ее спросили, была ли она во Франции -- "Да", в Париже -- "Да", видела ли кафедральный собор Нотр-Дам -- "Да" и понравился ли он ей -- "Нет". "Почему?" -- последовал вопрос. "Он такой старый", -- ответила Лиз.

В настоящее время математика является, как это было 2000 лет назад, первым кандидатом, которого необходимо ликвидировать. Компьютерная революция дает возможность заменить образованных рабов невежественными рабами. Правительства всех стран уже начали исключать математические науки из программы обyчения средней школы.

Биологическое отделение Геттингенского университета обратилось с просьбой к математикам, чтобы они прочли курс лекций по теории чисел. Математики, поначалу изумленные этим предложением, обнаружили, что биологи хотят, чтобы студентов обучали сложению дробей. Многие из студентов Геттингенского университета предпочитают сложение числителей и знаменателей дробей отдельно, как поступают американские студенты: 1/3+1/2=2/5 (правильно 5/6).

Российское правительство сейчас пытается привести математическое образование в средней школе к американскому стандарту.

Проект предусматривает сократить время, уделяемое математике, в два раза, используя сэкономленные часы на обучение верховой езде (мальчиков) и плетению из лоскутов (девочек).

Французское Министерство образования, науки и техники намеревается сократить выпуск учебников по математике для средней школы в три раза. Учитывая взрывной рост всех видов псевдонаук (подобно астрологии) во многих странах, можно ожидать появления нового средневекового мракобесия в наступаюшем веке.

Настоящий расцвет наук мог бы вполне сопровождаться необратимым упадком (аналогичным тому, что случилось с живописью после Великого итальянского возрождения).

К сожалению, я не могу полностью отрицать вину математического сообщества в нынешней антипатии общества и правительств к математикам и математическому образованию.

Человеческий мозг состоит из двух долей -- левой и правой. Левая доля отвечает за речь, последовательности рассуждений, интриги и т.д. Правая доля управляет пространственной ориентацией, эмоциями и всем необходимым в практической жизни.

Типичным примером чрезмерного развития левой доли является характер игрока в шахматы Лужина из произведения Набокова "Защита Лужина". Эта болезнь действительно является сильным качеством людей с преобладающим развитием левой доли мозга. Обычно это сопровождается недоразвитием правой доли мозга и сопутствующим чувством собственной неполноценности.

В середине двадцатого века сильная мафия математиков (с развитой левой долей мозга) преуспела в исключении всей геометрии из математического образования (впервые во Франции, а позднее в большинстве других стран), заменив изучение всего содержательного в математике обучением формальным доказательствам и манипуляциям с абстрактными понятиями. Конечно, все связи с реальным миром и другими науками тоже были исключены из обучения математике.

Определим умножение натуральных чисел с помощью длинного правила. Тогда переместительный закон умножения становится трудной теоремой, которую однако можно вывести логически из определения. Вынуждая бедных студентов изучать такие доказательства, разбойники с доминантой левого полушария неизбежно создали современное негативное мнение общества и правительств о математике.

Можно понять переместительный закон умножения, только считая солдат по рядам и колоннам или вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику являются сектантским подходом, который будет отвергнут любым благоразумным человеком и создаст антипатию к математике, к умножению и ко всем видам доказательств. Это "абстрактное" описание математики нельзя использовать ни для обучения, ни для любой практической цели.

Но все люди с преимущественным развитием левого полушария мозга порождают такое поколение математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны только учить ее тем же самым путем. Антипатия к математике министров, которые страдали от уничижающего обучения этого типа в средней школе, является нормальной и здоровой реакцией.

К сожалению, их антипатия к математике действует без разбора на все в ней и может убить ее совершенно. Одной из опасных тенденций является исключение доказательств из математики средней школы.

Роль доказательства в математике аналогична роли орфографии или даже каллиграфии для поэзии. Человек, который не овладел искусством доказательств в средней школе, является, как правило, неспособным распознать, что правда и что ложь. Такие люди легко становятся игрушкой в руках безответственных политиков.

В результате могут происходить массовый гипноз и социальные катастрофы.

Лев Толстой отметил, что сила правительства зависит от невежества людей. Более того, он говорил, что правительство сознает это и, следовательно, всегда будет бороться против образования народа.

Однако, я считаю, что полное уничтожение математики и математического образования было бы ошибкой, аналогичной преследованию Галилея.

Один французский редактор (который когда-то организовал издание сверхабстрактной чепухи и поэтому способствовал современному бедствию) пригласил меня недавно обсудить эту ситуацию и представил мне свою молодую ассистентку, как имеющую философское образование. Стремясь быть галантным, я немедленно заявил, что, судя по моему опыту, философы -- это самые невежественные люди. Я сослался на утверждение французского философа XIX столетия, которое я прочитал в "Словаре глупостей": Римская католическая церковь совершила ошибку, что сожгла Галилея.

"Что же здесь глупо?" -- откликнулась леди. "Я тоже согласна с тем, что было ошибкой сжигать его".

Почувствовав мою реакцию, она поправилась: "Конечно, я имела в виду Тихо Браге". (На костре инквизиции погиб Джордано Бруно.)

Рассказывая эту историю в колледжах Кембриджа, я убедился, что имя Джордано Бруно известно только в России (хотя его статую можно видеть на площади Кампо ди Фиори в Риме).

Между прочим, Бруно все еще не реабилитирован (в противоположность Галилею, который был наконец реабилитирован в 1992 году).

Доныне разрушение культуры, науки и образования (особенно математики и математического образования) продолжает идти в России более медленными темпами, чем в более цивилизованных странах.

Существующая в настоящее время позорная дискриминация русских ученых (так же, как и индусов, китайцев и др.) со стороны западного научного сообщества очевидно вредит мировой науке. Раньше нам не разрешали выезжать из России коммунисты. Теперь дверь закрыта с другой стороны системой бессмысленных "виз", которых не требовалось в XIX веке и которых не требуют от американцев и других "истинно белых" людей.

Английское консульство (в Париже) недавно дало мне список их требований для получения визы, разрешавшей посетить Кембридж и Оксфорд на несколько дней. Среди дюжины различных требований они просили меня представить копию британского паспорта пригласившего меня лица так же, как и информацию о религиозных воззрениях священника, подписавшего мое брачное свидетельство.

Сто лет тому назад математики могли путешествовать из одной страны в другую без виз и унижений в консульствах. В настоящее время это возможно только для рожденных в отдельных избранных странах. Русские, азиаты и африканцы среди прочих являются незванными. Евроамериканская хартия прав человека на деле оказывается хартией прав евроамериканцев.

Интересный современный вариант работорговли появился недавно. Мои друзья, работающие в биологии, химии и физике, рассказали мне, что американские и европейские университеты приглашают русских преподавателей и платят им маленькую зарплату (которая, тем не менее, в несколько раз выше, чем русские зарплаты, бывшие в июле 1998 года на уровне 100 $ в месяц, сейчас вероятно гораздо ниже, а цены на продукты питания в Москве в основном такие, как в Париже). Русские рабы работают усердно, но публикации подписываются не ими, а преподавателями пригласившей лаборатории.

Способы присвоения результатов русских математиков различны, но результат один и тот же: они большей частью приписываются западным эпигонам.

На последнем Международном конгрессе математиков (Берлин, август 1998 года) не было ни одного русского среди пленарных докладчиков. Большая часть докладов русских математиков не была даже включена в Тезисы конгресса из-за невозможности авторами послать из России членские взносы организаторам. Такой дискриминации не было в самые худшие времена холодной войны.

Я думаю, тем не менее, что вопреки всем этим дискриминационным мерам Россия займет в конце концов равноправное положение с Европой и даже Америкой, и знания математики и истории Джордано Бруно в России будут признаны в качестве евроамериканского стандарта.

Ответственный за перевод с английского
доктор физ.-мат. наук Р.Гарипов.

(С сокращениями статья опубликована в газете "Советская Сибирь".)