ПОИСК РЕШЕНИЯ СЛОЖНОЙ ЗАДАЧИ
«Численное моделирование на адаптивных сетках установившихся
течений жидкости» — так называется работа кандидата
физико-математических наук Нины Шокиной, которая удостоена премии
имени академика Н.Н.Яненко.
Г.Хакимзянов,
доктор физико-математических наук.
В установившихся движениях жидкости картина течения не изменяется
во времени. Для таких движений параметры, описывающие состояние
жидкости, например, скорость жидкости, давление, могут иметь
разные числовые значения в разных частях жидкости, но в любой
фиксированной точке пространства, через которую проходят частицы
жидкости, эти параметры имеют постоянное значение, не меняющееся
со временем.
Установившиеся течения жидкости можно наблюдать как в обычных
бытовых условиях и в окружающей среде, так и в различных
технических установках, поэтому такие течения уже давно стали
предметом интенсивных научных исследований. Вначале они изучались
в лабораторных экспериментах на специально созданных установках.
В связи с бурным развитием вычислительной техники в последние
десятилетия среди исследователей все большую популярность
приобретает метод вычислительного эксперимента для изучения
течений жидкости. При использовании этого метода работа
экспериментатора — вычислителя разбивается на несколько этапов:
нужно построить математическую модель, сконструировать
вычислительный алгоритм и создать программу для компьютера, с
помощью которой и будет рассчитана картина течения.
Математические модели, описывающие течения жидкости, имеют вид
системы уравнений для отыскания интересующих нас параметров
жидкости. Эти уравнения имеют сложный вид, в них входят
производные от искомых функций, поэтому найти точное решение
таких уравнений удается крайне редко. В силу этого переходят к
той или иной приближенной модели, решение которой искать легче, и
для нее конструируют вычислительный алгоритм — подробно
расписанный шаг за шагом процесс поиска решения этой модели. На
следующем этапе вычислительный алгоритм, написанный на понятном
компьютеру языке, превращается в программу расчета.
В цикле работ, выполненных Ниной Шокиной, представлены новые
результаты по каждому этапу. Как уже было сказано, математические
модели, описывающие течение жидкости, очень сложны. Они состоят
из нескольких связанных в систему уравнений. Автору удалось
вместо скорости и давления ввести другие искомые функции, причем
так, что система связанных уравнений распалась на отдельные
хорошо изученные уравнения. Тем самым поиск решения сложной
задачи свелся к нахождению решения нескольких более простых и
обозримых задач, которые решаются циклически в определенной
последовательности друг за другом, пока не будет получено с
заданной точностью решение исходной задачи.
Разработанные Н.Шокиной вычислительные алгоритмы основаны на
методе конечных разностей. При использовании этого метода вначале
надо в области, занятой жидкостью, построить расчетную сетку.
Например, в простейшем случае, когда рассматривается течение в
прямоугольнике, можно провести семейство прямых, параллельных
горизонтальным сторонам прямоугольника, провести семейство
прямых, параллельных вертикальным его сторонам, и рассмотреть
множество всех точек пересечения этих прямых. Эти точки
пересечения называются узлами сетки, совокупность всех узлов
называется расчетной сеткой. В методе конечных разностей вместо
производных, входящих в уравнения математической модели,
используются разности искомых функций в узлах сетки. Тем самым,
от исходной задачи, в которой требовалось определить неизвестные
параметры жидкости в каждой точке, а их бесконечно много,
совершается переход к более простой, так называемой разностной
задаче, в которой параметры жидкости требуется находить только в
узлах сетки. Поскольку множество узлов конечно, то разностная
задача уже может быть решена на компьютере, если, конечно,
предварительно сконструировать вычислительный алгоритм получения
решения разностной задачи. Разностная задача дает приближенное
решение исходной задачи, причем тем точнее, чем больше мы возьмем
узлов сетки, т.е. чем гуще она будет покрывать область течения.
Рассмотренная в качестве примера простейшая сетка носит название
прямоугольной равномерной сетки, поскольку равны расстояния между
соседними узлами как в горизонтальном, так и в вертикальном
направлениях, и элементарные ячейки сетки имеют вид
прямоугольников. Ясно, что на практике приходится, как правило,
иметь дело с течениями жидкости не в прямоугольных областях, а в
областях с криволинейными границами весьма сложной формы.
Таковыми, например, являются течения жидкости в реальных водоемах
с искривленными берегами, реках, в изогнутых каналах различных
технических устройств и т.д. Поэтому прямоугольные сетки не
подходят для проведения расчетов в областях сложной формы. Для
таких областей узлы сетки получаются уже как точки пересечения
кривых линий, которые в некотором смысле "параллельны"
криволинейным границам области течения. Ячейки таких сеток
являются уже не прямоугольниками, а произвольными криволинейными
четырехугольниками, поэтому и сетки называются криволинейными. В
научных статьях Нины Шокиной предложен довольно простой метод
построения криволинейных сеток, который использовался при решении
многих практических задач и показал свою эффективность.
Как уже было сказано, чем больше будет в сетке узлов, тем точнее
можно решить задачу. С другой стороны совершенно ясно, что и
время решения задачи на компьютере будет чрезмерно большим, если
мы возьмем очень густую сетку. Таким образом, применяемая
вычислительная техника ставит естественное ограничение на размеры
используемых сеток. В связи с этим возникает вопрос, а нельзя ли,
взяв не очень большое количество узлов, тем не менее добиться
хорошей точности решения, распределив узлы сетки неравномерно по
области течения — где-то гуще, а где-то реже? Оказывается, такое
возможно. Вычислителям известно, что там, где параметры жидкости
меняются быстро, узлы сетки надо расставлять чаще, там надо
сгущать сетку, а в местах плавного изменения искомых параметров
узлы сетки можно ставить далеко друг от друга. В результате
получаются не просто криволинейные сетки, а сетки, которые
приспосабливаются к картине течения. Такие сетки, которые
адаптируются и к криволинейным границам области течения, и к
особенностям искомого решения, называются адаптивными. На
адаптивных сетках с небольшим количеством узлов можно добиться
такой же точности решения, как на неадаптивных сетках с очень
большим числом узлов, поэтому алгоритмы расчетов на адаптивных
сетках экономичнее и, следовательно, предпочтительнее алгоритмов
на неадаптивных сетках. В работах Н.Шокиной изложен эффективный
метод построения адаптивных сеток и разработаны оригинальные
вычислительные алгоритмы для расчета течений жидкости на таких
сетках. Эти разработки опробованы на практических задачах
исследования течений воды в речных руслах, исследования обтекания
островов, расположенных в водоемах со сложной геометрией
береговой линии, а также в изучении картины течения жидкости в
элементах некоторых технических устройств.
Отметим, что у истоков этого направления математического
моделирования стоял академик Николай Николаевич Яненко. Премия
его имени и присуждена Нине Юрьевне Шокиной за выполненный цикл
научных исследований. В работах академика Н.Яненко постоянно
указывалось на то, что вряд ли можно решить сложную задачу в
"лоб", успеха можно добиться, лишь разбив сложную задачу на ряд
более простых, понятных и изученных задач. Много внимания Николай
Николаевич уделял и решению проблемы построения адаптивных сеток,
а также проблеме построения эффективных вычислительных алгоритмов
расчета на адаптивных сетках. Вместе с ним этими вопросами
занимались многие его ученики, которые теперь передают уже свой
опыт следующему поколению молодых энергичных ученых, к которым и
относится Нина Шокина.
стр.
|
