И СНОВА ПРОБЛЕМА НАВЬЕ-СТОКСА
Премию в области математической физики имени академика
И.Н.Векуа — первого ректора Новосибирского государственного
университета — получил кандидат физико-математических наук Александр МАМОНТОВ
за работу "Разрешимость в целом" неодномерных уравнений вязкой
сжимаемой жидкости".
Обычно "прирожденные" математики заявляют о себе еще в
студенческие годы. Дипломная работа магистра мехмата НГУ
Александра Мамонтова послужила основой для кандидатской
диссертации, которую он защитил буквально через полгода после
окончания университета.
"Математика — это наследственное, — сказал Александр. —
Дед —
инженер, отец — математик..." В целом утверждение спорное — не
всегда так получается, просто иногда выручает "удачное стечение
обстоятельств".
По стечению обстоятельств отец и сын работают в Институте
гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН, но в разных
лабораториях. Сын — в лаборатории краевых задач механики
сплошных сред, руководит которой член-корреспондент В.Монахов.
Когда А.Мамонтов назвал своего научного руководителя —
профессора А.Кажихова — сразу стало ясно, с какой проблемой
снова и снова сталкиваются математики. И цикл конкурсных
математических работ логично развивает "студенческие" задачи
Александра. На вопрос, как бы он без формул прокомментировал свои
результаты, он ответил, что в этом цикле статей рассматривается с
разных сторон один из вариантов классической проблемы и пояснил:
— Моя работа относится к проблеме математической физики,
сформулированной еще в XIX веке. Это вопрос о математической
корректности модели движения вязких жидкостей, описываемой
уравнениями Навье-Стокса. Подобно тому, как в ходе упорных
попыток доказательства известной теоремы Ферма математиками были
созданы целые теоретические направления, живущие сейчас своей
самостоятельной жизнью, так и проблема уравнений Навье-Стокса
вызывает большой интерес специалистов, потому что она находится
на стыке разных направлений. Эта проблема — источник и своего
рода пробный камень для многих новых методов математической
физики, дифференциальных уравнений и функционального анализа. В
этой области работали и работают в настоящее время такие
выдающиеся математики, как Ж.Лерэ, О.Ладыженская, Ж.-Л.Лионс и
многие другие, включая сына Ж.-Л.Лионса — Пьера-Луи, который за
свои достижения был недавно удостоен престижной Филдсовской
премии. В отличие от упомянутой теоремы Ферма, здесь идет речь не
об одной теореме, а о целом круге вопросов. Многие, основные из
них, до сих пор не выяснены. Дело в том, что для приложений
особенно важно уметь решать теоретически и численно уравнения,
описывающие многомерные движения вязких (желательно, сжимаемых,
что сложнее) жидкостей, в том числе с нелинейной вязкостью.
Однако всякий разговор о поиске, изучении решения или его
"обсчитывании" на компьютере начинается с теорем о существовании,
единственности и качественных свойствах. С точки зрения физики
особую ценность представляют теоремы "в целом" по времени, то
есть характеризующие решение задачи на достаточно больших
промежутках времени и без ограничений на входные данные, а вот
эти-то теоремы "достаются" исследователям в последнюю очередь. Не
исключение и уравнения вязкой сжимаемой жидкости. В классической
постановке проблема Навье-Стокса (точная формулировка и
доказательство теоремы о корректности "в целом" по времени для
трехмерных движений) не решена до сих пор, даже для несжимаемой
жидкости. В представленной работе получены новые результаты из
упомянутого нами широкого круга вопросов, возникших из
первоначальной классической проблемы. Впервые удалось доказать
разрешимость "в целом" по времени и входным данным уравнений
трехмерного движения сжимаемой неньютоновской жидкости. До сих
пор близкие по смыслу теоремы были получены только для
несжимаемых жидкостей; в случае линейной вязкости имелись хорошие
результаты для двумерного случая и начальные шаги для
трехмерного. Однако такое сочетание — три измерения, сжимаемость
и достаточно высокая гладкость — достигнуто впервые. Попутно
получены новые результаты в развивающейся области функционального
анализа — теории пространств Орлича — именно ее привлечение
помогло достичь результатов в области математической физики.
Автор надеется на плодотворное продолжение своей работы в той
интересной области математики, в которой ему довелось оказаться,
а также на то, что в решении проблемы Навье-Стокса — а оно
придет рано или поздно, как это случилось с теоремой Ферма —
будет и его скромный вклад.
Подготовила Г.Шпак.
стр.
|
