САУНДЕРС МАКЛЕЙН — ДОН КИХОТ МАТЕМАТИКИ
14 апреля 2005 года в Сан-Франциско на 96-м году закончилась
удивительная жизнь замечательного американского математика
Саундерса Маклейна, одного из создателей теории категорий,
вставшей в ряд самых ярких, противоречивых, амбициозных и
героических математических достижений XX века.
Теория категорий наряду с теорией множеств служит универсальным
языком современной математики. Категории, функторы и их
естественные преобразования широко используются во всех разделах
математики как удобные средства, позволяющие единообразно
смотреть на различные конструкции и формулировать общие свойства
разнообразных структур. Значение теории категорий не может быть
сведено к узким рамкам удобства ее выразительных возможностей.
Эта теория существенно изменила воззрения на основания
математики, расширила возможности ее свободного мышления.
Теория множеств, гениальное творение Георга Кантора, в XX веке
стала рассматриваться как единственно возможное обоснование
современной математики. Математика начала превращаться в часть
канторовой теории множеств. Тезис о невозможности обоснования
математики вне теории множеств воспринимается многими
действующими математиками, педагогами и философами как очевидный
и не требующий доказательства. Парадоксальным образом
теоретико-множественная установка превратилась в устойчивый
догмат. Разумеется, такой доктринерский взгляд на основания
математики не только ложен, но и противоречит лейтмотиву и пафосу
всего творчества Кантора, который еще в 1883 году писал, что
«сущность математики заключается именно в ее свободе».
В рамках теории категорий в 1960-е годы была осуществлена
социализация теоретико-множественной математики. Возникла теория
топосов, предоставляющая широкий класс категорий, в рамках
которого обычная теория множеств может восприниматься как рядовой
индивидуум. Тем самым математика получила новое бесконечное
множество степеней свободы.
Маклейн при жизни стал легендарной фигурой науки США. Он был
избран в Национальную академию наук США в 1949 году и получил в
1989 году высшую научную награду США — Национальную медаль
науки. Маклейн был вице-президентом Национальной академии наук
США и Американского философского общества, избирался президентом
Американского математического общества и Математической
ассоциации Америки.
Исследования по гомологической алгебре и теории категорий Маклейн
вел совместно c С. Эйленбергом (1913-1998), с которым они
познакомились в 1940 году. Жемчужиной их сотрудничества стала
теория категорий, родившаяся в 1942 году. Эту теорию сам Маклейн
всегда считал «естественным и, возможно, неизбежным аспектом
упора математики XX века на аксиоматические и абстрактные
методы». Термин «теория категорий» возник у ее авторов из общего
интереса к философии и, в частности, в мыслях об Иммануиле Канте.
Теория множеств царствует в современной математике. Шутовская
роль «абстрактной чепухи» в математике отведена теории категорий.
Из истории и литературы общеизвестно, сколь сложны и
непредсказуемы отношения и взгляды правителя и шута. Нечто
подобное наблюдается во взаимосвязях и взаимозависимостях теории
множеств и теории категорий.
С логической точки зрения теория множеств и теория категорий суть
теории первого порядка. Первая оперирует множествами и отношением
принадлежности между ними. Вторая говорит об объектах и морфизмах
(или стрелках). Большой разницы между соответствующими атомарными
формулами, конечно, нет. Однако содержательная разница между
понятиями, формализованными этими атомарными формулами,
колоссальна. Стационарному миру Цермело-Френкеля,
перенасыщенному копиями равномощных множеств, противостоит
свободный мир категорий — ансамблей произвольной природы,
определяемых динамикой своих преобразований.
Замечательные продвижения в теории категорий связаны с именами
А. Гротендика и
Ф. У. Ловера. Созданная ими теория топосов возникла
при «элиминации точек», развивающей идею необходимой
инвариантности изучаемых в математике объектов. На этом пути
возникли представления о переменных множеств, приведшие к
концепции топоса и созданию социума теоретико-множественных
моделей. В новых рамках свое естественное место заняли
булевозначные модели как топосы, реализующие аристотелеву логику
и открывающие царский путь к решению проблемы континуума, данному
К. Геделем и П. Коэном. Эти топосы стали основной ареной
современного булевозначного анализа, получившего отклик в России,
у нас в новосибирском Академгородке.
Прощаясь с Маклейном, читая его глубокие работы последних лет,
невозможно не заразиться юношеской преданностью математике и ее
творцам. Его блестящие эссе — гимн математике, немыслимой без
доказательств.
Великий творец, хозяин и слуга математики, Маклейн был беззаветно
предан идеалам истины и свободомыслия этой древней науки. Он с
честью преодолел многолетние непонимание и шквал насмешек над
своим гениальным детищем — теорией категорий. Маклейн стал
вечным и трагикомичным математическим Рыцарем Печального
Образа…
С. Кутателадзе, профессор
г. Новосибирск
стр. 7
| 
