«Наука в Сибири» № 30-31 (2366-2367) 2 августа 2002 г. А.Д.АЛЕКСАНДРОВ ОБ ЕВКЛИДЕ И СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ Юрий Решетняк, академик Семен Кутателадзе, профессор 4 августа — день 90-летия Александра Даниловича Александрова (1912-1999), выдающегося математика XX века, одного из ярких людей российской науки. Первый том избранных трудов А.Александрова, вышедший в серии "Классики советской математики", основанной английским издательством Гордон и Брич, снабжен следующим суждением профессора Д.Е.Эдмунса из Университета Сасекс: "Александров — гигант математики 20-го века". В научной среде принято проводить приуроченные к памятной дате конференции и семинары, издавать книги трудов и воспоминаний, публиковать библиографические очерки. Не станет исключением и обсуждаемая годовщина. 26 апреля состоялось заседание Московского математического общества, посвященное А.Александрову, где главный доклад о нем сделал его ученик, академик А.Погорелов. С 16 по 23 июня в Санкт-Петербурге прошла большая конференция — Вторая российско-германская геометрическая встреча, посвященная памяти А.Александрова, — которую открыл другой его ученик, академик Ю.Решетняк. С 9 по 20 сентября аналогичное собрание ученых — Сибирская школа геометрии — состоится в новосибирском Академгородке. Издательство "Наука" выпустило в этом году книгу "Академик Александр Данилович Александров. Воспоминания. Публикации. Материалы" под редакцией профессора Г.Идлиса и академика О.Ладыженской. Нет недостатка и в биографических статьях. Они появятся в "Сибирском математическом журнале", "Успехах математических наук" и других изданиях. Институт математики им. С.Л.Соболева выпустил и раздарил желающим биобиблиографический указатель работ Александра Даниловича. В этих обстоятельствах он сам счел бы бесконечно скучным и нудным очередной газетный рассказ о своем жизненном пути. До последних дней жизни академик Александров оставался отважным служителем истины, пытливым ученым, увлеченным педагогом, глубоким моралистом, тонким философом, блестящим полемистом и страстным проповедником науки. Нет сомнений, вечную память Александру Даниловичу сотворил он сам своими блестящими сочинениями по специальным и общим вопросам науки и жизни. В этой связи мы подобрали для читателя небольшой отрывок одной из ярких лекций Александра Даниловича Александрова как повод для воспоминания и восхищения. В греческой математике рассматривались только такие фигуры и функции, которые строились и определялись, исходя из элементарных понятий и принципов построения, как проведение отрезков, окружностей и т.п. Греки дали алгоритм для вычисления числа "пи" — отношения окружности к диаметру, вычисляли таблицы для синуса, исследовали разнообразные конкретно, конструктивно заданные кривые. Но произвольные кривые они исключали из математики, называя их "механическими". Так же не было у них понятий о произвольном вещественном числе и тем более о произвольной функции. Математика греков была конструктивной. То, что называют элементарной математикой, если не понимают под этим просто содержание школьного курса, и обозначает по существу математику, основанную на применении простейших построений и алгоритмов. Таким образом, нынешняя математика с алгоритмической, конструктивной установкой как бы возвращается к принципам греческой математики, но, понятно, на основе всего предшествующего развития. В некоторых отношениях она по своему духу ближе к Евклиду и Архимеду, чем к Кантору. Лет двадцать пять назад, развивая метод приближения общих поверхностей многогранниками, составляемыми из многоугольников, я выразил это в виде лозунга: "Назад — к Евклиду!" Поскольку математика обращается к деятельности человека, к самой его логике и построению теорий, она оказывается в этом смысле наукой гуманитарной. Имеющий до сих пор хождение взгляд, причисляющий математику к естественным наукам, давно перестал быть верным, во всяком случае с тех пор как в ней появились теории, не имеющие естественного прообраза. Теперь же этот взгляд оказывается тем более ошибочным. Конечно, математика не является и гуманитарной наукой, но занимает особое положение, относясь в своих истоках к наукам естественным и в последних теориях — до некоторой степени к наукам гуманитарным. Гуманитарная сторона математики развилась также из других источников: в ней возникли теории информации, игр, операций, управления, оптимизации и математических методов экономики. Во всех случаях речь идет о вещах, связанных прежде всего с человеческой деятельностью, как передача информации, игра или военная операция и т.п. Все эти теории связаны с кибернетикой, которую определяют как науку о процессах управления в сложных динамических системах. В понятие управления включают понятия о цели управления, о передаче, приеме и переработке информации, относящиеся в первую очередь к человеческой деятельности. Определяемая в математике мера "количество информации" представляет собой не что иное, как иначе выраженную меру вероятности или, вернее, невероятности данного сообщения и вообще какого-либо явления среди массы явлений того же общего типа. Введенное Больцманом в 1871 г. определение энтропии как меры вероятности состояния физической системы оказывается "количеством информации", заключенной в этом состоянии, взятым с обратным знаком. В целом для математики наших дней характерно возрастание удельного веса теории вероятностей. Теория эта зародилась еще в XVII в., но долгое время оставалась как бы на периферии математики. Теперь она встала в ряд с другими основными математическими теориями не только по объему и значению ее собственных задач и приложений, но и по тому влиянию, какое она начинает оказывать на другие области непосредственно или через теорию информации. Общая черта новых теорий математики заключается еще в том, что их предмет составляют сложные дискретные системы, как алгоритм представляет собой дискретную систему предписаний, математический вывод и математическая теория с точки зрения математической логики — дискретную систему взаимосвязанных элементов, действующих дискретными шагами, и т.д. Вместо прежнего подавляющего господства математики непрерывного выросло значение дискретной математики. Суммируя все сказанное, мы можем коротко отметить следующие особенности математики наших дней. 1. Возрастание роли алгоритмов и алгоритмических решений вплоть до проникновения их в самые основы математики, когда главные ее понятия определяются алгоритмически. Математика становится абстрактной инженерной наукой, конструирующей аппараты для решения задач других наук и практики. В этом качестве она зародилась в Египте и Вавилонии и теперь возвращается к тому же на новом уровне. 2. Включение в сферу математики — в свойственной ей абстрактной форме — исследования человеческой деятельности (в математической логике, теории алгоритмов, информации, игр и др.). Математика, возникшая в качестве эмпирической естественной науки, становится в указанном смысле наукой гуманитарной. 3. Существенное возрастание объема и роли дискретной математики, теорий сложных дискретных систем. 4. Существенное возрастание объема и роли теории вероятностей, как непосредственно, так и через теорию информации и кибернетику. Лет двадцать назад, читая курс истории математики в Ленинградском университете, я говорил о новом этапе развития математики. Теперь этот новый этап обозначился совершенно отчетливо, и есть достаточные основания считать, что его характерные черты будут усиливаться, преобразуя математику во все большей степени. А.Д.Александров, академик. 1988 г. стр.