Импульсное управление динамическими системами на конечном отрезке времени. Математическая модель регуляции артериального давления при инсулинозависимом диабете

Бияров Т.Н., Пыркова А.Ю.
Казахский Государственный Национальный Университет им. аль-Фараби,
Алма-Ата

Биология и медицина - сравнительно новые области применения математики, особенно такого ее раздела, как математическая теория управляемых систем.

Существует немало медико-биологических проблем, к которым применимы известные математические методы. Это прямая задача описания поведения физиологической системы во времени; обратная задача определения степени достоверности различных гипотез на основе сравнения теоретических и экспериментальных результатов, данные анализа которых могут быть использованы для того, чтобы направлять дальнейший ход эксперимента, и т. д.

Применение математических методов к описанию физиологических процессов в общем случае основывается на использовании математических моделей.

Математическая модель регулирования артериального давления при инсулинозависимом диабете представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, управление которой происходит с помощью импульсных управляющих функций.

Система нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием на конечном отрезке времени имеет вид:

\begin{displaymath} \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u_s(t) + C(t)x(t-\tau) + f(t,x(t),x(t-\tau)), t_0 < t < T \end{displaymath} (1)


\begin{displaymath} x(T) = 0, \end{displaymath} (2)

с начальными условиями:
\begin{displaymath} \begin{array}{l} x_i(t_0) = x_{i0}, i \ne l,\\ x_l(t) = x_{l0}, t \in [t_0 - \tau ,t_0], \end{array}\end{displaymath} (3)

где $A(t)$, $B(t)$ - матрицы с непрерывными компонентами размерностей $n \times n$, $n \times r$ соответственно, $C(t)$ - матрица с непрерывными компонентами размерности $n \times n$, $f(t,x(t),x(t-\tau))$ - вектор размерности $n$, $x(t)$ - $n$-мерная вектор-функция состояния, $u_s(t)$ - $r$-мерная импульсная вектор-функция, которая определяется следующим образом:

\begin{displaymath} \int_{t_1-s}^{t_1+s}u_s(t)dt = \nu, \end{displaymath}


\begin{displaymath} u_s(t) = 0, t \notin (t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon), \end{displaymath}

$t_1$ - момент действия импульса.

Задача стабилизации на конечном отрезке времени состоит в следующем: необходимо определить такие управляющие воздействия $u(t)$, которые переводили бы траекторию системы (1-3) из любого начального фазового состояния $x_0$ при $t=0$ в конечное состояние $x=0$ при $t=T$.

Математическая модель регуляции артериального давления при инсулинозависимом диабете представляет собой совокупность двух известных медицинских моделей: модели регуляции артериального давления и модели изменения уровня гликемии. Эти две модели были объединены с учетом двух основных факторов, влияющих на изменение артериального давления. Эти факторы -- тип сосудистых осложнений сахарного диабета и степень снижения уровня гликемии.

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \dot{P}_a(t) = k_1k_aP_{\nu}(t) - k... ...aC(t) + bC_{\text{гл}}^{\text{норм}}(t),\\ \end{array}\right. \end{displaymath} (4)


\begin{displaymath}t_0 < T <T,\end{displaymath}

с начальными условиями
\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} P_a(t)=P_{a0}, t\in [t_0-\tau,t_... ...text{гл}}(t_0)=C_{\text{гл}0},\\ C(t_0)=0. \end{array}\right. \end{displaymath} (5)

где $P_a(t)$ - среднее артериальное давление, $P_{\nu}(t)$ - среднее венозное давление, $C_{\text{гл}}(t)$ - концентрация глюкозы в крови, $C(t)$ - скорость изменения концентрации глюкозы в крови, $k_i, i=1,\ldots,5$ - коэффициенты, определяемые регрессионными методами, и $P_{a0}$, $P_{\nu 0}$ - значения артериального и венозного давлений в начальный момент времени, $C_{\text{гл}0}(t)$ - начальное содержание глюкозы в крови, $\mu$ - коэффициент, характеризующий тип сосудистых осложнений, $0 \le \mu \le 1$.
Ваши комментарии
[SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]
[СО РАН]

© 2001, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
© 2001, Объединенный институт информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт математики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Новосибирский государственный университет
Дата последней модификации Thursday, 06-Sep-2001 23:33:17 NOVST