Информационная система "Конференции"

Гусейнова О.О.
Красноярский государственный технический университет

       1. Исследование закона Гуттенберга-Рихтера для подводных землетрясений
Эмпирически установленный закон Гуттенберга-Рихтера для повторяемости подводных землетрясений с магнитудой (M) имеет следующий вид:

(1)

где N - число землетрясений за исследуемый интервал времени с магнитудой M, a - константа, зависящая от выбора единиц измерения и временного интервала, b(≈1) – наклон графика повторяемости землетрясений.
Основной характеристикой землетрясения используемой для анализа является сейсмический момент M₀ [Н м = кг м² с^-2 ], который может быть рассчитан на основе данных сейсмограмм:

M0=μSd,

(2)

где μ = (3 - 7) x 10¹⁰ [ Н м² = кг м^-1 с²] - модуль сдвига пород земной коры, S - площадь [м²], d - среднее смещение блоков коры вдоль разрыва. Очевидно, что величина M связанна с M₀:

(3)

учитывая (3), запишем закон (1) в терминах момента M₀:

в результате замены A=(a-6 b), B=2/3 закон примет вид:

(4)

Анализ сейсмограмм позволяет оценить следующие параметры очага подводного землетрясения: L_i - длина [м], S - площадь [м²], τ_r - время развития разрыва [с], u - среднее смещение блоков коры вдоль разрыва [м].
Соображения масштабного подобия позволяют на основе простой модели образования трещин установить связь между параметрами S и M₀ при постоянстве падения напряжения Δσ [Н м^-2 = кг м^-1 с^-2].
В теории подобия приняты обозначения для основных единиц измерения размерностей L - длины, M - массы, T - времени. Тогда размерности параметров очага подводного землетрясения могут быть выражены через основные единицы измерения:
[Δσ] = ML^-1T^-2 , [M₀] = ML²T^-2 , [S] = L². Выделим безразмерный критерий подобия в виде:
[П]=[Δσ]^α [M₀]^β [S]=( ML^-1T^-2) ^α (ML²T^-2)^β L². Из системы
найдем α = 2/3, β = -2/3; П=Δσ^2/3M₀^-2/3S.
Следовательно, S=П Δσ^-2/3M₀^2/3 при Δσ = const, .

Выделим некоторые параметры описывающие явление подводного землетрясения:
       μ - модуль сдвига пород коры μ = (3 - 7) x 10¹⁰ [ Н м² = кг м^-1 с²],
       σ - коэффициент Пуассона,
       ρ - плотность пород ρ=3 ·10³ [ кг м ^-3 ],
       Δσ - падения напряжения [ Н м^-2 = кг м^-1 с^-2 ],
       h - толщина плит [ м ],
       F - мощность геотермического потока тепла в земной коре [ Вт = кг м² с ].

Размерности параметров μ, Δσ совпадают, их отношение дает безразмерный комплекс П₁=Δσ/μ.
За основные параметры примем :

[M0]=ML2 T-2 , [ Δσ]=ML-1T-2 , [h] = L, [F] = ML2T .

Из четырех основных параметров можно составить масштабы длины L и времени T. Масштаб длины будем искать в виде L=M₀^α Δσ^β. Коэффициенты α и β следует подбирать так, чтобы в итоге размерность совпала с L, для этого в выражение для L подставим вместо параметров их размерности:
L=[M₀]^α[Δσ]^β= (M L² T^-2)^α (M L^-1 T^-2)^β. Задача сводится к решению системы:
Решая систему, получим α = 1/3; β = -1/3, масштаб длины равен: L=(M₀/Δσ)^1/3. Аналогично выводится масштаб времени T=M₀^αF^β:
[M₀]=ML²T^-2 , [Δσ]=ML^-1T^-2 , [h] = L, [F] = ML²T . Эта задача сводится к решению системы:
Получим α = 1, β = -1, отсюда масштаб времени равен:

.

(6)

Из размерных параметров и масштаба длины получен основной безразмерный параметр:

(7)

Запишем закон повторяемости землетрясений как функцию от П₂ :

(8)

где - число событий с моментом за определенный промежуток времени. На основе данных о землетрясениях было установлено что при П₂1, f представляет собой линейную функцию: , из (8) получаем:

.

(9)

При малых П₂ :
, где с=с' =0,4. Отсюда N~M₀^-2/3.
Учитывая размерности, из масштаба L можно получить формулы: для длины разрыва L_r=c₁L, площади S=c₂L₂, среднего смещения блоков d=c₃M₀/μS и времени развития разрыва τ=c₄L_r(μ/ρ)^-1/2, где (μ/ρ)^1/2 - определяет скорость поверхностных волн.
Рассмотрим число землетрясений в интервале M+dM₀ : Таким образом, установленно, что число землетрясений прямопропорционально сейсмическому моменту в степени -5/3:
.

     2. Анализ афтершоковой последовательности (Закон Омори)
Важным для анализа афтершоковой последовательности, связанной с сильными подводным землетрясением является закон Омори. Установлено, что со временем t, отсчитываемым от времени основного события, частота афтершоков убывает как t^-p, период между ними растет как t^p, где p слегка больше единицы.
Этот эффект может быть обоснован с точки зрения теории подобия. Рассмотрим параметры описывающие явление. M₀ [ кг м² с^-2 ] - сейсмический момент основного события, M_0i [ кг м² с^-2 ] - ему последующего, τ(с)- период между ними.
Вместо всего потока F [кг м²с], будем рассматривать скорость генерации напряжения в регионе G, равную его части G=ΔF. Очевидно, что их размерности совпадают. Тогда масштабы времени T и длины L для этой задачи можно представить в виде:

     3. Теория подобия применительно к проблеме цунами
С точки зрения теории подобия можно также рассмотреть явление цунами. В данной задаче оценивается величина функциональная связь τ_max максимального периода цунами с другими параметрами явления. В качестве исходных данных возьмем статистику о проявлениях цунами на Курильских островах: значение максимальных периодов цунами τ_max и радиусов очагов при различной пороговой высоте волны цунами h.
Установлено, что величина τ_max(м) зависит от величины очага цунами, характеризуемой такими параметрами, как:
       R [м] - эффективный радиус очага, очевидно , где S[м²] - площадь очага,
       E [кг м²с^-2] - его энергия,
       H[м] - глубина воды,
       α_i - набор безразмерных параметров, характеризующих форму источника,
       L_j[м] - линейные параметры побережья,
       β_k - его безразмерные параметры формы,
       h[м] - пороговая высоте волны,
       g[м с^-2] - ускорение силы тяжести,
       ρ[кг м^-3] - плотность воды.

Эту зависимость можно представить в виде функции:

(10)

Основная теорема подобия утверждает, что функция f от n размерных параметров должна приводиться к зависимости между n-r безразмерными комплексами из этих параметров, где r- число параметров имеющих независимые размерности.
Выразим размерности параметров через основные единицы измерения (L - длина, M - масса, T - время): [τ_max] = T, [R] = L, [E] = ML²T^-2, [H] = L, [α_i] = 1, [L_j] = L, [β_k] = 1, [h] = L, [g] = L T^-2, [ρ] =ML^-3.
Очевидно, что такие параметры, как R, E, g имеют независимые размерности. На основании теоремы м ожно получить 10-3=7 безразмерных комплексов. Будем искать их в следующем виде:

(11)

     4. Связь между параметрами очагов цунами и землетрясения

Выделим параметры описывающие очаг землетрясения:
S - площадь [ м2 ],
d - среднее смещение блоков коры вдоль разрыва [ м ],
V - объем землетрясения [м³], равный V =Sd,
M₀ [ Н м = кг м²с^-2 ] - сейсмический момент.
Известно соотношение Sd=M₀ /μ, где μ =(3-7) x 10¹⁰[ Нм² = кг м^-1с²] - модуль сдвига пород земной коры,
τ_r [с] - время развития разрыва,
Δσ - падения напряжения [Н м^-2 = кг м^-1с^-2 ],
ρ - плотность пород =3 ·10³ [кг м ^-3],
F - мощность геотермического потока тепла [Вт = кг м²с ],
h[м] - глубина очага,
Параметры описывающие очаг цунами
R [м] - эффективный радиус очага цунами, очевидно , где Sц[м²] - площадь очага цунами.
Vц[м³] - объем цунами(возмущенной воды) [м³],
α, β - углы вертикального и горизонтального распространения водного потока,
E [кг м²с^-2] - его энергия,
H[м] - глубина воды.

Общие показатели:
g[м с^-2] - ускорение силы тяжести,
ρ [кг м^-3] - плотность воды.

Представим функциональную зависимость объёма цунами от остальных параметров следующим образом:

Выразим размерности описывающих систему параметров через основные единицы измерения(L-длина, M-масса, T-время): [Vц]=L³, [V]=L³, [ α ]=1, [ β ]=1, [ M₀ ]=ML²T^-2, [ Δσ ]=ML^-1T^-2 , [ F ]= ML2T , [ τ_r]=T , [E] = ML²T^-2, [ H ] = L, [ g ] = LT^-2, [ρ] =ML^-3.
За основные параметры примем V, M₀ ,F
На основе теории подобия от задачи (12) можно перейти к задаче в безразмерных соотношениях:

(13)

Из соображений размерности выделим масштаб времени:
L=
L=[]==L

Рассмотрим каждое из этих соотношений.
Учитывая связь объема землетрясения с сейсмическим моментом, считая величину падения напряжения постоянной:
          , где K1=const.
Время развития разрыва через масштаб времени представляется так τ_r=K1 T, тогда
          , где K2=const.
           , учитывая, что величинa E связанна с M₀ линейно.
          , где К2 = const, К3-постоянная величина размерности L³. Представим h = К5·L, тогда
          , где К5 = const.
Аналогично H = К6·L
          , где К6 = const.
          , где [К7]=L^1/3.
          , где [К8]=L^2/3.
Подставив преобразованные выражения для П-критериев перепишем задачу (13):

.

(14)

Если F - линейная функция, то задачу можно переписать в следующем виде:

,или .

Учитывая, что V>>0 отбросим степени V меньше единицы, тогда:

,

Аппроксимация статистических данных было установлено, подтверждает эту линейную зависимость, было установлено:

,

здесь K1, K2 - const - зависящие от региона, учитывая, что V=M₀ /μ:
. Для цунами в Японском Море была установлена формула: , таким образом, константа К1 зависит от направления распространения водного потока.