ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЕДИНЕННОЙ ВОЛНЫ С ЧАСТИЧНО ПОГРУЖЕННЫМ В ЖИДКОСТЬ ТЕЛОМ

 

К.Е. Афанасьев, Е.Н. Березин
Кемеровский государственный университет

 

В настоящей работе проводятся исследования взаимодействия уединенной волны с частично погруженным в жидкость телом. Приводятся кинематические характеристики возникающего течения, изучается так же динамика нагрузок при взаимодействии тела с волнами, основное внимание уделено исследованию характеристик возникающего течения жидкости за телом. Задача в полной нелинейной постановке решается методом граничных элементов (МГЭ).

 

1. Постановка задачи

В декартовой системе координат  рассматривается нестационарное движение идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами. Область , занятая жидкостью, ограничена свободными поверхностями , , и твердыми участками границы , . Давление на свободных границах постоянно и равно нулю. В начальный момент времени  граница  соответствует уединенной волне, а распределение потенциала на ней получены из решения нелинейной стационарной  задачи для уравнения Лапласа [3]. Схема течения изображена на рис. 1.

 

Рис. 1. Область течения

 

Математическая задача для потенциала скоростей в безразмерных переменных записывается в следующем виде:

 

,                                                                                      (1)

,                                                                    (2)

,                                               (3)

 

,                                                                         (4)

 

Задача (1)-(4) является нелинейной, так как положение свободной границы неизвестно и должно быть определено в ходе решения. На границах ,  должно выполняться нелинейное граничное условие, а именно, интеграл Коши-Лагранжа. В качестве характерных величин выбираются ускорение свободного падения и глубина ,  - вектор внешней нормали к границе области течения. Таким образом, не нарушая общности задачи, будем считать , и . Число Фруда для уединенной волны определяется соотношением:

,                                                                                  (5)

где  - скорость движения уединенной волны.

 

2. Численное моделирование

Для решения краевой задачи (1)-(4) используется алгоритм движения  по времени, описанный в работах [1, 7, 9]. На каждом шаге по времени методом граничных элементов [4, 5] решается интегральное уравнение по границе , к которому сводится уравнение Лапласа внутри области .

Поскольку потенциал течения идеальной несжимаемой жидкости является гармонической функцией, можно воспользоваться известной из теории гармонических функций, функцией Грина, которая является фундаментальным решением уравнения Лапласа и для плоских задач имеет вид:

 

                                                                    (6)

 

В этом случае справедливым является следующее интегральное уравнение:

,                                     (7)

 

где  - граница области ,  - гармоническая функция,  - внешняя по отношению к области  единичная нормаль поверхности . Параметр  определяется следующим образом:  для внутренней точки,  для точки на гладкой границе,  для угловой точки границы ( - угол при вершине). Значение функции  в произвольной точке области  определяется из уравнения (7) по известным на границе значениям функции  и нормальной производной .

 

Для численного решения интегрального уравнения  (7) граница  области  разбивается на ряд граничных элементов и предполагается, что на них искомые функции  и  изменяются по линейному закону. В результате решение граничного интегрального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для нахождения неизвестных значений потенциала и его нормальной производной в узлах элементов. СЛАУ решается методом Гаусса с выбором ведущего элемента [6]. Методика решения интегрального уравнения, выбор шага по времени, дифференцирование функций заданных на границе области и учет особенности при смене граничных условий изложены в работе [2].

 

3. Тестовые расчеты

3.1 Движение уединенной волны по бассейну с ровным дном

Хорошим критерием проверки качества численного метода является решение ряда тестовых задач. Первый тест проводится на решении нестационарной задачи о движении уединенной волны амплитуды  по бассейну, постоянной глубины . В процессе движения, уединенная волна должна не изменять свою амплитуду и скорость, сохранять форму и полную энергию. Для расчета была взята область , где  описывает уединенную волну. Вершина волны при  находится в точке . Расчеты проводятся до момента безразмерного времени , когда вершина волны перешла в точку с абсциссой . К этому моменту времени вершина проходит путь равный 5.5 длин волны. Длина волны l определяется длиной отрезка по оси , на котором выполняется условие [8] . Шаг по времени подбирается автоматически [2].

На рис. 2 показаны профили свободной поверхности для различных моментов времени, а также значения массы и полной энергии.

 

Рис. 2. Движение уединенной волны амплитуды

по бассейну, постоянной глубины

 

Рост погрешности основных характеристик волны имеет линейный характер. Ниже в таблице 1 приводится изменение амплитуды, массы и полной энергии в зависимости от количества точек разбиения.

Таблица 1.

 

Отсутствие диспергирующего хвоста из волн малой амплитуды позади основной волны объясняется достаточно точным заданием начальной поверхности солитона и распределения потенциала на ней, полученным на основе численного решения нелинейной стационарной задачи об уединенной волне [3]. Использование в качестве начальных параметров волны известных приближений [10], дает заметный диспергирующий след (волновая рябь), в силу того, что данные приближения не являются точным решением уравнения Лапласа. Эта волновая рябь, несомненно оказывает влияние как на характеристики основной волны, так и на волны, возникающие при взаимодействии с различными препятствиями.

 

3.2 Накат солитона на вертикальную стенку

Данный тест представляет собой взаимодействие уединенных волн амплитуд 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 с вертикальной стенкой, имеющей абсциссу . Остальные параметры были взяты из предшествующего теста.

 

Рис. 3. Профили свободной поверхности при накате уединенной волны

амплитуды на вертикальную стенку

 

На рис. 3 приведены профили свободной поверхности при накате солитона амплитуды  на вертикальную стенку для нескольких моментов безразмерного времени. При , ,  - первоначальная форма солитона; , ,  - форма свободной поверхности в момент максимального заплеска; ,  - амплитуда восстановленного солитона, вершина которого находится в точке с абсциссой .

Анализ представленных графиков позволяет утверждать, что отражение волны от стенки приводит к изменению амплитуды волны и формированию хвоста из вторичных волн малой амплитуды, что находится в полном соответствии с результатами численных исследований [8].

 

Рис. 4. Изменение динамических характеристик при накате

уединенной волны амплитуды

 

На рис. 4 представлены зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий от времени при накате волны амплитуды  на вертикальную стенку. Необходимо отметить, что максимум потенциальной энергии и максимальный заплеск на стенку смещены по времени друг относительно друга. Эта несогласованность может служить объяснением фазового сдвига набегающей и отраженной волн [8].

 

4. Численные результаты

При решении нестационарных задач о колебании жидкости, и в особенности при взаимодействии волн с различными преградами, очень важной является задача определения давления на преграду и донные сооружения. Давление  определяется из интеграла Коши-Лагранжа:

.                                                                  (8)

 

Не маловажным является изучение динамики нагрузок на твердые стенки. Значение динамической нагрузки вычисляется с помощью интеграла на каждом шаге по времени по следующей формуле:

,                                                                          (9)

 

где  - волновое давление,  - давление создаваемое жидкостью на каждом шаге по времени и  - давление покоящейся жидкости.

Краевая задача (1)-(4) зависит от множества параметров: амплитуды волны , расстояния от дна до препятствия , толщины препятствия  и расстояния  между препятствием и твердой стенкой. Исследование численного решения задачи, в зависимости от заданных параметров, представляет значительный интерес, но сопряжено с большими временными затратами на проведение численных расчетов, поэтому в работе представлено  численное решение задачи при 2 и 8,  , толщина препятствия  выбирается равной амплитуде волны . Для численного решения была взята область , где  описывает границу , . Вершина волны при  находится в точке .

 

На рис. 5 и рис. 6  представлены профили свободной поверхности при накате уединенной волны амплитуды . Характеристики изменения кинетической , потенциальной  и полной  энергий показаны на рис. 7.

 

a)	a)
b)	b)
c)	c)
Рис. 5. Профили свободнойповерхности:  , ,  ; а) - , b) -  c) -	Рис. 6. Профили свободной поверхности:  , ,  ;  а) - , b) -   c) -

 

 

a)	b)
Рис. 7. Динамические характеристики течения при взаимодействии с препятствием волны амплитуды               a) - ; b) -

                    

На рис. 8 показаны графики зависимости динамической нагрузки при , .

 

a)	b)
c)
Рис. 8. Распределение нагрузки на границах  a) - , b) - , c) -

 

На рис. 9 и рис. 10  представлены профили свободной поверхности при накате уединенной волны амплитуды . Характеристики изменения кинетической , потенциальной  и полной  энергий показаны на рис. 11.

 

a)	a)
b)	b)
c)	c)
Рис. 9. Профили свободной поверхности:   , , ; а) - ,  b) - , c) -	Рис. 10. Профили свободной поверхности:  , , ; а) - , b) - , c) -

            

      

a)	b)
Рис. 11. Динамические характеристики течения при взаимодействии с препятствием волны амплитуды               a) - ; b) -

                                                                                                                 

На рис. 12 показаны графики зависимости динамической нагрузки при , .

 

a)	b)
с)
Рис. 12. Распределение нагрузки на границах  a) - , b) - , c) -

      

5. Законы сохранения

Консервативность полученных численных результатов во многих работах проверяется путем проверки законов сохранения. Одним из таких законов является закон сохранения полной энергии . Потенциальная и кинетическая энергия вычисляются по формулам.

                                                     (10)

 

                                                                                                 (11)

                                                             

 

Значение относительной погрешности полной энергии на каждом шаге по времени составляло не более 1.5%.

Очень хорошим критерием контроля точности метода для задач со свободными границами является закон сохранения массы, который в плоском случае равносилен закону сохранения площадей.

              (12)

 

Относительная погрешность изменения закона сохранения массы для всех расчетов не превышала 0.06%.

 

Список литературы

 

[1]    Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г.  Исследование эволюции свободных границ  методами конечных и граничных элементов при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.- 1986.- № 5.- С. 8-13.

 

[2]   Афанасьев К.Е., Самойлова Т.И. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами // Вычислительные технологии.- Новосибирск.- 1995.- вып. 7 , №11.- C. 19-37.

 

[3]    Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Численное моделирование взаимодействий уединенных волн с препятствиями // Вычислительные технологии.- Новосибирск. ИВТ СО РАН - Т. 4. № 6. 1999, С.3-13.

 

[4]    Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках., М, Мир,: 1984.

 

[5]    Бребия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов.-М.: Мир.-1987.

 

[6]    Бахвалов Н.С. Численные методы., М.: Наука, 1975.

 

[7]   Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики  и их математические модели. - М.: Наука, 1977.- 407 с.

 

[8]   Протопопов Б.E. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды. Изв. АН, Механика жидкости и газа, № 5, 1990, С. 115-123.

 

[9]    Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике: Учеб.  пособие / Чуваш. ун-т. им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары: ЧГУ.- 1987.- 94 c.

 

[10]  Шокин Ю.И., Рузиев Р.А., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование плоских потенциальных  течений жидкости с поверхностными волнами.  Препринт, № 12, ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1990.