Информационная система "Конференции"

Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям

29-31 октября 2002 г., Новосибирск, Академгородок

Елюхина И.В.
Южно-Уральский государственный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ: ПРОВЕРКА СОГЛАСОВАННОСТИ ДАННЫХ И РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ЖИДКОСТИ

Введение

            Для определения вязкости агрессивных и высокотемпературных жидкостей широкое распространение получил метод крутильных колебаний Швидковского Е.Г. (рис.1) [1]. Одним из открытых вопросов, возникающим при реализации данного метода и составляющим предмет интенсивных дискуссий, является вопрос о причинах противоречий в результатах экспериментов, полученных разными авторами с одними и теми же жидкостями (см., например, [2]). Поэтому разработка методов проверки корректности данных прямых измерений и их последующей обработки представляется весьма своевременной.
            Идея одного из методов проверки согласованности данных вискозиметрических экспериментов над ньютоновскими жидкостями появилась уже довольно давно [3, 4], однако, до сих пор не реализована на практике. Метод основан на одновременном определении вязкости и плотности среды, а заключение о получении надежной оценки вязкости жидкости в данном случае выводится из сравнения значений плотности, известных из других независимых экспериментов и определенных с помощью вискозиметрической теории.
            Одним из случаев ошибочной интерпретации экспериментальных данных является неверная трактовка поведения среды при исследуемых условиях как ньютоновского. Крутильно-колебательный метод широко используется в вискозиметрической практике с момента обоснования метода Швидковским Е.Г для ньютоновской жидкости [1] до настоящего времени и получил значительное усовершенствование в аппаратном отношении. Теоретическая база практически ограничивается возможностями, представленными первоначально, и, в частности, отсутствует теория, позволяющая корректно идентифицировать реологическую принадлежность среды и, например, ее ньютоновский тип.
            В режиме затухающих колебаний можно реализовать как малые скорости деформаций, так и предельно малые полные деформации [5, 6, 7]. Это позволяет сделать наблюдаемыми отдельные неньютоновские эффекты у жидкостей, обычно считающихся ньютоновскими. Данные условия, реализуемые в крутильно-колебательном реометре и неосуществимые в других реометрических методиках, дают возможность предположить обнаружение новых классов сред со слабо выраженными неньютоновскими свойствами. Наблюдение слабо неньютоновских свойств в работе рассмотрим на примере вязко-упругой модели поведения.
            В основе теории крутильно-колебательного метода измерения вязкости жидкости  лежит положение о регулярном режиме колебаний, т.е. предполагается, что начальное распределение скоростей не оказывает влияния на движение среды. Возникающие на практике ситуации показывают, что реализуемые в вискозиметре условия не всегда позволяют пренебречь развитием переходных процессов, что также приводит к некорректной интерпретации данных эксперимента.
            При решении задач, сопряженных с косвенными измерениями, необходимо проведение оценки неизвестных параметров на основе изучения наблюдаемости и идентифицируемости системы. В работе оценивание осуществим  на основе методов параметрической идентификации (см., например, [8, 9]), в которых используется  информация, заключённая как в уравнениях процессов, так и в экспериментальных данных, и которые позволяют эффективно и корректно определять неизвестные характеристики на основе подробного анализа системы в рамках теории чувствительности.

Математическое моделирование вискозиметрического эксперимента по одновременному определению вязкости и плотности среды

            Прежде всего, отметим, что в основе расчетного аппарата крутильно-колебательного метода лежит вискозиметрическое уравнение, являющееся решением дифференциальных уравнений Навье-Стокса и колебаний. Уравнение связывает оцениваемые характеристики среды с наблюдаемыми в эксперименте параметрами: периодом  и декрементом затухания  колебаний, и для ньютоновской жидкости имеет вид [1, 9]
, (1)
  
  ,          , (2)
где , - коэффициент затухания колебаний, - циклическая частота, , ,  и  - логарифмический декремент и период колебаний заполненного жидкостью цилиндра соответственно,  и  - период и логарифмический декремент собственных установившихся затухающих колебаний пустой системы,  - момент инерции всей подвесной системы без жидкости относительно оси цилиндра, М – масса среды,  - кинематическая вязкость, , , R – внутренний радиус цилиндра,  H  - полувысота цилиндра,   - характеристические числа, определяемые из уравнения ,  - функция Бесселя первого рода первого порядка, ,  - функции трения, отражающие роль сил трения на боковой поверхности цилиндра и его торцах соответственно,  - при учете контакта жидкости с крышкой,  - в случае свободной поверхности.
            Детальное обсуждение возможности одновременной оценки вязкости и плотности ньютоновской жидкости из измеряемых в эксперименте параметров крутильных колебаний цилиндра проведено в работе Ньюводта Дж., Сенгерса Дж. и Кестина Дж. [3].  Результаты работы [3] не свободны от достаточно весомых и затрудняющих их использование для проверки согласованности недостатков, основными из которых являются: 1. учет ошибок прямых измерений только периода и декремента затухания, 2. высокая декларируемая точность периода и декремента, которую не всегда можно реализовать на практике, 3. используемые обычно для повышения качества эксперимента параметры установки не являются оптимальными для указанных целей.
            Пределы изменения параметров  в настоящей работе примем следующими:   
1.  выбирается из условия: ,
2.  см.,   3. , 4. , 
5. , 6. ,     7.   (3)
            Неизвестные параметры: вязкость  и плотность жидкости, определим методами параметрической идентификации [9] из условия минимума функции качества вида
, (4)
где , ,   - весовые коэффициенты,  - действительная и мнимая части от функции  (1).
            Выделим основные особенности, выявленные в результате проведенного анализа.
            1. Функция качества (4) на плоскости () имеет  овраг криволинейного типа (рис.2). Локальное направление оси оврага в некоторой точке () в пределах точности численных методов можно считать совпадающим с мгновенным значением производной = =, где знак  соответствует производным в относительных единицах.
            Здесь =;  ;   или  .
            2. Существование оврага связано с видом вискозиметрического уравнения (1, 2), а поворот его оси зависит от соотношения  и  (2). Очевидно, что значение  зависит в значительной степени от отношения  (рис. 2), а при варьировании параметрами  и  наблюдается слабый поворот дна оврага.
            3. Функции чувствительности  вязкости к измеряемым в эксперименте параметрам, рассчитанные при ,  и ,  (4) различны на несущественную величину, кроме чувствительности к периодам  и , которая может быть в сотни раз выше для мнимой части по сравнению с действительной. При ,  функции  в рассматриваемой области параметров (3) принимали значения порядка единицы.

            При определении из вискозиметрической функции (1) только вязкости среды требуется одно из соотношений:  или , наиболее подходящее для этой цели. При оценке дополнительно и плотности обычно в вискозиметрических методиках используется и действительная, и мнимая части от функции  (1).
            В настоящей работе оценка вязкости и плотности среды проведена с использованием только действительных частей в уравнении (4). При планировании данного вискозиметрического эксперимента в терминах теории чувствительности на множестве всех допустимых выборок измерений определены точки, минимальное число которых (а именно, две) обеспечивает однозначное, устойчивое и надежное решение задачи. Вязкость и плотность здесь оцениваются из условия минимума функции качества
, (5)
а ошибка в их определении для указанного интервалов параметров (3) не превышает 1%. Для нахождения точек воспользуемся условием (см., например, [10])
 , (6)
где индексы 1,2  – номера измерений. Здесь точка 1 берется при , определенном из условия  (3), т.е. когда сильнее влияние торцевых поверхностей. Учитывая, что  в большом интервале параметров с ростом высоты увеличивается незначительно, в начальном приближении вторую точку согласно  можно принять, соответствующей  (при  (3)), т.е. оси двух оврагов должны расходиться на максимально возможную величину, что подтверждается и качественным анализом.
           Момент инерции  и внутренний радиус цилиндра имеют самую низкую точность измерений, в ряде случаев не превышающую 1 % (например, при использовании керамического тигля), что может приводить к ошибкам в плотности в сотни процентов. Включая  и в число оцениваемых параметров, выбор оптимальных точек измерения в данном случае осуществим как в терминах матрицы Якоби, так и путем численного анализа поведения функций чувствительности для различных выборок измеряемых параметров.
            Математическое моделирование вискозиметрического эксперимента для ньютоновской жидкости показало, что использование комплекса параметров с максимально возможно различными массами и периодами  (т.е. четыре точки с  при  и  при ) позволяет решить данную задачу оптимально в виду поворота оврага в различных плоскостях пространства . Минимальное значение функции
(7)
определялось путем комбинированного поиска на основе метода конфигураций Хука-Дживса, предусматривающего локальное изучение поверхности отклика с помощью пробных шагов и ускоренное движение вдоль оси оврага, а также метода случайного поиска и метода исключения областей, в частности, сеточного метода поиска.

Теория крутильно-колебательного вискозиметра по уточнению реологического типа среды

            Возможности метода крутильных колебаний в изучении неньютоновских жидкостей в настоящее время исследованы недостаточно. В единственной  выполненной в этом направлении работе Клеймана Р.Н. [7] анализируется возможность измерения вязко-упругих свойств в режиме вынужденных колебаний. Кроме того, работа [7] носит скорее теоретический характер, что затрудняет использование полученных результатов на практике и не способствует распространению методологии исследования на другие режимы колебаний.
            Состояние простой жидкости с затухающей памятью, совершающей крутильные колебания в вискозиметре, можно охарактеризовать как линейно-вязкоупругое [5], а  течение описать единственной материальной функцией - комплексной вязкостью , включающей динамическую вязкость  и  динамическую  жесткость  [5, 6, 7]:
, (8)
где , ,  - частота,  .
            Тогда вискозиметрическое уравнение (1, 2) для вязко-упругой среды вместо   кинематической вязкости будет содержать выражение, для данной реометрической системы определенное как
. (9)
            При организации режима крутильных колебаний путем варьирования частотой так, что обеспечивается равенство толщины пограничного слоя  и длины упругой волны  :  
, (10)
линии уровня функции (4) при  на плоскости  – окружности. В этой точке , где - соответствующие производные в относительных единицах. При усилении, например, упругих свойств линии уровня вытягиваются вдоль оси вязкости, и в пределе образуется овраг, локальная ось которого перпендикулярна оси жесткости. Стоит отметить, что наклон осей оврагов функций  и  к оси  различен и составляет 900 только при , а при  оси оврагов перпендикулярны к оси .
            Акцентируем внимание на слабоупругих свойствах, т.е. рассмотрим область при , например, для слабовязких жидкостей ( [1]). Примем точность всех измеряемых параметров не хуже 10-4, а интервал изменения периода колебаний пустого тигля  секунд.
            Анализ чувствительности проведем в терминах функций чувствительности вида , где параметры - оцениваемые: , а  - измеряемые: . Отметим, что приводимые ниже в алгоритме количественные характеристики получены для наихудших с позиций чувствительности случаев.
            Выделим наиболее важные особенности, затрудняющие определение упругих свойств.
1. Все функции  при  принимают значения порядка единицы за исключением чувствительности по периоду : , рассчитанная через функцию (1, 4, 9) () при , где , порядка 10-1 составляет несколько сотен, а при уменьшении  на порядок увеличивается приблизительно также на порядок.
2. При изменении  на порядок () чувствительность  увеличивается в среднем также на порядок, и растет  ( при : ).
            В связи с этим принята следующая модель оптимального реометрического эксперимента по исследованию слабоупругих свойств жидких сред.
. Анализируется вид функции  на плоскости  при  секунд. Если линии уровня вытянуты вдоль оси вязкости, т.е. полученная точка находится в «упругой» области (), то:
1. Уменьшая , определяется точка . Установлено, что точке  соответствует максимум функции  (рис. 3).
2. С ошибкой менее 1% определяются коэффициенты  и  из системы двух уравнений:
а) при  и  (при ), или
б) при ,  с использованием двух точек  и .
. Если охватываемый интервал  не позволяет найти режим, где , т.е. исследуемая точка лежит в «вязкой» области (), то:
1. Определяется нижняя граница  такая, что для  реализуются условия, при которых определение жесткости становится ненадежным. Установлено, что оценка жесткости с ошибкой менее 1% обеспечивается при  (например, для свойств воды:  в системе СГС).
2. При известном значении вязкости из других независимых экспериментов или оцененном из области, где упругие эффекты ненаблюдаемы, оценка  находится путем минимизации функции качества (4) при  и .
а) Если  (т.е. ), то это значение жесткости считается истинным с ошибкой менее 1%.
б) Если , то делается вывод, что в пределах указанной точности получить надежной оценки жесткости не удалось.
            Проводя детальный анализ чувствительности жесткости к неточностям в измерениях всех параметров установки и колебаний, можно найти более точную границу для каждой конкретной задачи, которая может составлять в ряде случаев  с ошибкой менее 10%.
3. Если на практике трудно реализовать точность измерения момента подвесной системы без жидкости  и внутреннего радиуса цилиндра порядка , то необходимо уточнить имеющиеся значения  и  путем минимизации функции качества на множестве четырех параметров () (случай 3.1) или трех при уже известной вязкости (случай 3.2). Для получения оптимального распределения измерений в этих случаях необходимо использовать:
3.1. Две точки при жесткости  порядка :  и  (в общем случае  и ,) при .
3.2. Три точки при , , соответствующие параметрам эксперимента 1: (,), 2: (,), 3: (,), где массы и коэффициенты  и  выбираются при оптимальном планировании эксперимента в каждом конкретном случае в терминах матрицы Якоби  [8, 10]. Здесь минимизируемая функция
, (11)
где  - номера экспериментальных точек,  - функция качества (4) при , – имеет трехмерный овраг в пространстве (). Варьирование периодом приводит к углублению минимума оврага в плоскости (), а массы – в плоскостях, связанных с . Уменьшение периода от  до  увеличивает ошибку в определении жесткости, но позволяет улучшить оценки  и . Оптимальная выборка измерений следует из анализа матрицы чувствительности  функций чувствительности :
. (12)
Так, например, в начальном приближении допустимо определять массу из условия , а коэффициент пропорциональности  принять .

Исследование нерегулярного режима колебаний

            Настоящую задачу решим для начальных условий вида:
,    , (13)
где  - угловое смещение цилиндра,  - начальное смещение,  - время.
            Воспользуемся зависимостью для амплитуды колебаний, полученной Дж.Кестином и Ф.Ньюэллом [11] при решении нестационарной задачи крутильных колебаний цилиндра операторным методом:
, (14)
где  - корни уравнения
, , (15)
, , , , , ,  - корни .
            Уравнение (15) имеет два комплексно сопряженных корня:
,  (16)
отвечающие регулярному режиму, и бесконечное множество отрицательных действительных корней, которые можно определить графическим способом. 
            Исследование проведем для длинного цилиндра, т.е. учтем только первое слагаемое в правой части выражения для функции трения  (15).
1. Длительность затухания возмущений, вызванных переходными процессами по сравнению с регулярными колебаниями охарактеризуем, например, соотношением
, (17)
где ,  - минимальный по модулю корень для соответствующего значения , характеризующий затухание самого медленного из переходных возмущений,   - модуль действительной части от корней .
            Для длинного цилиндра корень  можно считать приближенно равным
, (18)
а декремент затухания колебаний заполненного жидкостью вискозиметра согласно приближенной зависимости Швидковского Е.Г.  [1] определим как
 , (19)
где , , т.е. , где можно представить согласно [1]:
,    .  (20)
            Из рис. 4 видно, что при  колебательное движение, описывающее  установившийся режим, затухает быстрее, чем апериодическое движение, характеризующее переходный процесс. Отметим, что при  реализуются условия эксперимента (), достаточно часто встречающиеся на практике.
2. Введем величину, описывающую поведение отношения величин основного, регулярного, процесса и накладываемых на него негармонических возмущений:
, (21)
где ,  - модули (14), определенные при корнях  (16) и   (18). Очевидно, что при  значение  (21) со временем уменьшается. На рис. 5 (для , ) изображена зависимость от предельного значения , такого, что при  после  колебаний величина  превышает .
            Представляя  в зависимости (14) как, где  определяется из (20), находим число колебаний , проходимых для установления требуемого режима при различных условиях эксперимента, т.е. при различных  (рис. 6).

Заключение

            Таким образом, в настоящей работе на основе методов теории параметрической идентификации, оптимизации и чувствительности проведено математическое моделирование вискозиметрических экспериментов по Швидковскому Е.Г. и, в частности:
            1. Разработаны оригинальные методы проверки согласованности, которые позволяют подтвердить или опровергнуть как корректность получаемых результатов, так и адекватность применения выбранной расчетной теории к  условиям эксперимента. Если такая проверка окажется успешной, а противоречия останутся, то правомерна будет постановка вопроса о других их причинах, имеющих не методическую, а физико-химическую природу.
            2. Создана методика измерения реологических параметров жидкостей со слабо упругими свойствами. В отличие от других реологических методик здесь вывод о реологической принадлежности жидкости делается из измерений периода и декремента затухания крутильных колебаний, которые могут быть выполнены с высокой точностью, недоступной для наблюдаемых параметров в других методах.
            3. Теория нерегулярного режима крутильных колебаний для ньютоновских жидкостей дополнена практическими приложениями, к которым необходимо обращаться в каждом вискозиметрическом эксперименте.
            Результаты, полученные с помощью построенного математического описания реометрического эксперимента по измерению вязких и упругих свойств жидкостей, могут быть использованы в химической, металлургической, пищевой промышленности и в энергетике при проектировании технологических процессов с участием текучих компонентов и при разработке микроскопических моделей жидких сред.

            Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал (№ 01-01-96424) и программы поддержки научного творчества молодежи в ВУЗах Челябинской области.

Литература

1. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 206 с.
2. Островский О.И., Григорян В.А. О структурных превращениях в металлических расплавах / Известия ВУЗОВ. Черная металлургия, 1985. - N 5. - с. 1-12.
3. Nieuwoudt J.C., Sengers J.V., Kestin J. On the theory of oscillating-cup viscometers / Physica, 1988. - 149A. - p. 107-122.
4. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Уткин Е.А., Щека А.И.  Моделирование экспериментов по измерению вязкости методом Швидковского /  Расплавы, 1990. - N2. - с. 57-64.
5. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. – М.: Мир, 1978. – 309 с.
6. Mason W.P. / Trans. ASME, 1947. – № 69. – р. 359.
7. Kleiman R.N. Analysis of the oscillating-cup viscometer for the measurement of viscoelastic properties / Phys. Rev., 1987. - Vol. 35,  № 1. - P. 261-275.
8. Брандин В.Н., Васильев А.А., Худяков С.Т. Основы экспериментальной космической баллистики. – М.: Машиностроение, 1974. – 340 с.
9. Елюхина И.В. Некоторые вопросы, возникающие в вискозиметрических экспериментах над металлическими расплавами / Матер. Х российской конф. «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов», Екатеринбург, 2001. – С. 196 – 200.
10. Елюхин В.А., Холпанов Л.П. Статистическое оценивание параметров в задачах идентификации / Теорет. основы хим. технологии, 1990. - Т.24, № 6. - С.784-793.
11. Kestin J., Newell G.F. Theory of oscillating type viscometers: the os­cillating cup. Part I. /  J. Appl. Math. Phys., ZAMP, 1957. – v. 8. – р. 433-449.