Полянский Д.А.
Институт физики и информационных технологий Дальневосточного государственного
университета
Юдин Виталий Витальевич, Полянский Дмитрий Александрович
Дальневосточный Государственный Университет,
Институт физики и информационных технологий
rambo@ifit.phys.dvgu.ru
В физике конденсированного состояния традиционно рассматривается 2 крайних состояния – кристаллографическое упорядочение и аморфное разупорядочение. При этом в классической кристаллографии в качестве моделей кристаллов принимались периодические покрытия – мозаики или паркеты. В начале 70-х годов Кавамура предложил в качестве модели аморфного разупорядочения мозаику, состоящую из равносторонних треугольников и квадратов.
В 1984 году группой Шехтмана на основе сплава
Al86Mn14 был открыт новый класс объектов c дальним порядком взаимодействия и симметрией 5-го порядка. Эти объекты были названы квазикристаллами. Позже обнаружили квазикристаллы 7-го и более высоких порядков. В это же время Маккей выдвинул гипотезу о том, что должны существовать апериодические покрытия, моделирующие структуру квазикристаллов. В частности, для квазикристаллов 5-го порядка такими моделями принято считать мозаики Пенроуза, для более высоких порядков - мозаики Дюно – Каца (МДК).Таким образом, можно говорить о своеобразной обобщённой кристаллографии
[1], в рамках которой возникает проблема создания математического аппарата, позволяющего описывать и сравнивать между собой различные структуры. Такой аппарат был создан на основе теории графов и информодинамики [2,3]. Обобщённые решётки рассматриваются как сеточные структуры, состоящие из ячеек и отношений смежности между ними. Адекватным отображением, где в явном виде представлены обе компоненты, являются древесные графы Кейли. Ячейки сетки отображаются вершинами графа, отношения смежности – связями, рёбрами графа. Дерево Кейли (ДК) по ячеистой структуре строится по следующему алгоритму.1. За центр выбирается любая ячейка сетки. Вокруг строится первая координационная сфера, состоящая из всех контактирующих с ней ячеек. Контакт может быть двух типов – рёберный и точечный.
2.Вторая координационная сфера включает все ячейки, контактирующие с первой сферой. От каждой вершины первой сферы строятся координационные кусты из связей, направленных только вперёд. Связи между элементами одного уровня и связи назад запрещены. На этом этапе получается двудольный граф. Оба уровня наделяются вероятностными мерами ветвистости кустов.
3. Третья и следующие координационные сферы строятся аналогично. Фактически, мы имеем дело с каскадом, иерархией двудольных графов.
Все кусты наделяются вероятностными мерами. Этажность дерева стремится к бесконечности.Теперь остановимся на некоторых свойствах ДК.
1. ДК являются бесконечными графами. Их можно рассматривать как древесные структуры, на которых осуществляется перколяция координации, определяемая в форме бегущих координационных сфер (волн).
2. На ДК разрешены два направления координационной перколяции - от центра к периферии и наоборот. Такое преобразование можно трактовать как специфическую симметрию. Тогда естественно предположить наличие инвариантности функционалов к такому преобразованию, а в случае отсутствия таковой сделать вывод о необратимости двунаправленного графа в целом.
3. ДК, представляющие ячеистые, мозаичные структуры, паркеты обладают случайной ветвистостью на иерархиях.
4. ДК плоских ячеистых структур обладают полярной геометрией. Согласуясь с такой симметрией свойства ДК могут обсуждаться как в радиальном, так и в тангенциальном направлениях. Им будут соответствовать вероятностные структуры двух типов. Один из них определяется для уровней иерархий, а другой строится в стримерном варианте.
5. ДК обладают жёсткой эстафетностью в радиальном (г) — направлении; вероятностные меры на уровнях ДК являются условными, переходными мерами. В таком случае можно говорить о свойстве г – марковости ДК.
6. Рассмотрим ветви, входящие в каждый уровень иерархии. Для них характерна высокая межкустовая пересекаемость. Это свойство порождает новый тип топологической связанности на ДК. Он существенно отличается от глобальной связанности центральных деревьев, которая реализуется маршрутами между двумя любыми вершинами. Эта локальная связанность образуется в тангенциальном (t) - направлении, не нарушая г - марковость. Высокий уровень локальной связанности на иерархиях может обеспечить существование единых фронтов перколяции.
7. Координационные ДК можно можно наделить соответствующей метрикой. Все ветви, отображающие связи, имеют единичную длину. Однако при укладке на евклидову плоскость создаётся впечатление, что это не так. Данный эффект является следствием неевклидовости ДК. За расстояние между двумя вершинами ДК принимают сумму инциденций до ближайшего предка. Эта мера известна как ультраметрика. Поэтому ДК можно считать ультраметрическими деревьями.
8. Любое глобальное ДК (сверхдерево) составлено из поддеревьев (кустов). Это свойство напоминает симплициальность. Каждый куст выступает как ультрасимплекс. Последний имеет только единичные межуровневые рёбра при отсутствии рёбер на одном уровне. Сверхдерево можно считать симплициальным ультраметрическим комплексом, подчиняющимся принципу структурного топологического подобия.
9. Тангенциальная межкустовая пересекаемость приводит к некоторому перепутыванию входящих кустов. Такая локальная t - связанность приводит к обобщению понятия леса до марковских джунглей.
10. Наличие симметрии центр-периферия приводит к необходимости рассматривать отношения подчинения - командования. От центра к периферии идёт поток подчинений, а от периферии к центру - поток командований.
На полученных деревьях строятся перечисляющие полиномы, которые переводятся в вероятностную форму, по ним определяются информодинамические характеристики (ИДХ), и изучается их перколяция по уровням ДК для расширяющегося и коллапсирующего деревьев. В качестве ИДХ используются энтропийные и дивергентные функционалы, в частности, энтропия Вайда (Hv). Определяя коэффициент структурированности ?, можно судить о степени разупорядочения структуры [4].
Цель нашей работы состояла в построении древесной модели и исследовании ИДХ мозаик Дюно – Каца 7,8,12-го порядка (МДК) и Кавамуры (МК), а так же их сравнении с мозаикой Пенроуза (МП), металлическими стёклами (МС) и кварцевыми стёклами (КС)
[2,3]. МДК 8-го порядка в отличие от МК имеет явные упорядоченные фрагменты. Исходя из этого можно ожидать, что и на уровне ИДХ она будет более упорядоченной, чем МК. В результате исследования выяснилось, что обе мозаики характеризуются высоким уровнем энтропии и МК является более упорядоченной с точки зрения перколяции ИДХ, чем МДК (Hv=0.82± 1.5%, h =1.4% для мозаики Дюно-Каца 8-го порядка и Hv=0.76± 5%, h =7.6% для мозаики Кавамуры). Коэффициент упорядочения МДК 7-го и 12-го порядка так же не превысили этот показатель для МК. В работе исследовался и второй вариант мозаики Кавамуры, построенный из двух типов блоков, каждый из которых содержал три треугольника и два квадрата. Данная структура оказалась самой упорядоченной из всех рассмотренных (? = 11,84%). Это даёт основание предположить, что степень упорядоченя структуры зависит не только от типа элементов, но и от способа её построения. Сравнивая эти ИДХ с полученными ранее для МДК 6-го порядка (? = 44%), МП, МС, КС [2,3,5] можно сделать вывод, что МДК высоких порядков более разупорядоченные, и эти структуры являются квазистохастическими.Кроме того, следует заострить внимание на мозаике 7-го порядка. Данная мозаика состоит из трёх типов ромбов. С другой стороны, она является центральной, т.е. на ней можно выделить точку, через которую проводится ось 7-го порядка. Поэтому исследование проводилось для двух вариантов построения деревьев. В первом случае старт производился от элемента (одного из трёх ромбов). Строилось 3 дерева (по одному от каждого типа ромба), для каждого дерева вычислялись ИДХ, а потом с учётом процентного содержания каждого ромба в мозаике определялись ИДХ для виртуального обобщённого дерева. Во втором случае строилось одно дерево (от центра симметрии). Кроме определения информодинамических и фрактальных характеристик целью работы было выяснить влияние типа старта на поведение этих характеристик.
На деревьях, стартующих от элемента, сразу наблюдалась стохастическое распределение кустов по иерархиям, т.е. нельзя было выделить период, с которым какой то куст или группа кустов повторялась бы на координационной сфере. Для дерева, стартующего от центра симметрии, наблюдалась обратная картина. Число элементов на всех иерархиях было кратно 7, и на каждой иерархии можно было выделить последовательность кустов, которая заполняла координационную сферу. Исходя из этого можно было ожидать, что поведению ИДХ и структурированности первое (виртуальное обобщённое) дерево будет аналогично деревьям для квазистохастических структур типа мозаик Кавамуры, кварцевых и металлических стёкол, а второе будет аналогично дереву для мозаики Дюно – Каца 6 порядка.
В результате было получено, что для деревьев, стартующих от элементов, энтропия Вайда (основная ИДХ) сразу выходила на уровень 0,75-0,8, и коэффициент упорядочения h = 7.64%. Остальные характеристики вели себя аналогично. На дереве, стартующем от центра для энтропии Вайда наблюдался переходной режим на 11 иерархий со значительными осциляциями (от 0.6 до 0.83). Начиная с 12 иерархии данная характеристика выходит на стационарный режим в районе среднего значения 0,8 с небольшими квазипериодическими осциляциями
(~ 5%). Коэффициент упорядочения практически не изменился (h = 7.8%). Отсюда можно сделать вывод, что данная структура является квазистохастической. Даже видимая периодиченость в координатном (метрическом пространстве) не сказывается должным образом на перколяции ИДХ.Как упоминалось выше, мозаики являются сеточными структурами, состоящими из ячеек сетки и отношений, связей между ними и их адекватным отображением являются древесные графы Кейли. Если рассматривать строение самих древесных графов, можно заметить, что на каждом уровне иерархии дерево Кейли состоит из отдельных кустов, которые в свою очередь являются древесными графами. С этих позиций деревья Кейли можно считать фрактальными объектами.
Так как ДК обладает полярной геометрией, то все его свойства можно изучать в тангенциальном и радиальном направлениях. Им соответствуют следующие типы фрактальных представлений:1.Стримерное
Поскольку ДК состоит из кустов, перколяция в радиальном направлении будет проходить по “лучу”, каждое звено которого является составной частью куста на той или иной иерархии. В результате получается структура, аналогичная лучу в оптике, но имеющая ответвления. Это и есть стример, который часто из-за этих ответвлений называют лохматым фракталом.
2. Скорлупа Мандельброта
Пространство между координационными сферами на ДК заполнено связями, отражающими координацию элементов исходного паркета. Если поставить задачу нахождения замкнутого пути внутри иерархии, причем путь должен быть непрерывным и минимальным из всех возможных, получим замкнутую пилообразную линию, известную как скорлупа Мандельброта. Данное представление является фрактальным обобщением волновых фронтов Гюйгенса, известных в оптике. Поскольку скорлупа Мандельброта представляет собой окружность некоторого радиуса, вписанную в окружность меньшего радиуса, часто скорлупы Мандельброта называют жирными фракталами. Тогда размерность скорлупы Мандельброта будет описывать степень этой “жирности”, т.е. во сколько раз вписанная окружность превосходит фактическую.
3. Тангенциальное представление. Это своеобразная оценка пропускной способности иерархии. Если она постоянна при перколяции по иерархиям, то её можно считать размерностным инваирантом.
Поскольку скорлупы Мандельброта являются обобщением волновых фронтов, а стримеры – обобщением лучей, эти представления являются дуальными, дополнительными. Тогда общая фрактальная размерность ДК определяется как прямая сумма этих двух представлений [3,4].
Наша задача состояла в расчёте фрактальных характеристик ДК для мозаик Кавамуры и Дюно – Каца 6, 7, 8, 12 порядков, а также в сравнении их с рассчитанными ранее результатами для кварцевых и металлических стёкол.
Было получено, что полная фрактальная размерность колеблется около 2.5 - 3, притом что исходные паркеты являются планарными объектами. Это позволяет считать данные структуры объектами сверхперколирующего типа. Их топологическая размерность ниже размерности пространства, в котором действуют перколяционные, информационные процессы [5]. Исследование зависимости полной фрактальной размерности рассматриваемых объектов от коэффициента их структурированности показало, что исследованные структуры собраны в достаточно плотный кластер, который можно назвать квазистохастическим.Кроме того, следует остановиться на поведении фрактальных характеристик для мозаики 7-го порядка. При старте от элемента получилось:
dstr = 1.68, dm = 1.52, dS = 3.2, при старте от центра симметрии: dstr = 1.55, dm = 1.145, dS = 2.695. Это означает, что при старте от центра симметрии перколяция идёт в пространстве меньшей размерности (на 0.5 у.е.). Следует отметить, что понижение размерности происходит в основном за счёт скорлупы Мандельброта. Её размерность приближается к топологической (1), что и следовало ожидать, за счёт наличия упорядочения (периода 7-го порядка) внутри иерархий. Размерность скорлупы Мандельброта практически такая же, как у мозаики Дюно – Каца 6 порядка (1.14 соответственно), коэффициент упорядочения которой h = 44%. Но эта мозаика представляет особый случай, т.к. получается из гексагонального кристаллографического паркета разбиением элементарной ячейки (гексагона) на 3 ромба. Соответственно, она наследует высокую (по сравнению с остальными квазикристаллическими мозаиками) структурированность и низкую размерность ультраметрического пространства. Но так как перколяция ИДХ рассматривается нами в радиальном направлении, за которое отвечает стримерная размерность, которая в данном случае не сильно отличается от размерности, полученной для квазистохастических структур, коэффициент упорядочения данной мозаики так же попадает в квазистохастический кластер.Таким образом, нами установлено, что по информодинамическим и фрактальным характеристикам квазикристаллические и аморфные структуры относятся к одному классу, который из-за высокой энтропии и низкой структурированности (менее 12%) следует считать квазистохастическим.