Гайдомак С.В.
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск
Рассматривается система дифференциальных уравнений
где 
-постоянные матрицы, 
искомая и заданная вектор-функции соответственно, 
. Предполагается, что
и вектор-функция 
достаточно гладкая в области 
. Систему вида (1), удовлетворяющую условию (2), будем называть системой не типа Коши-Ковалевской. Еще И.Г. Петровский указывал на необходимость изучения общих систем дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно старшей производной по времени. Такие системы возникают в различных прикладных задачах: в гидродинамике, газовой динамике, теории малых колебаний жидкости, в теории тепломассообмена [1], [2], [3].
Для системы (1) с нулевой матрицей 
ранее была получена теорема существования и единственности начально-краевой задачи и сформулирован ряд важных утверждений [4]. Поскольку применение разностных схем, разработанных и обоснованных для систем в нормальной форме, к системам не типа Коши-Ковалевской не всегда возможно, то возникает задача нормализации: приведения системы (1) к виду, разрешенному относительно производных 
. Этот вопрос решён для случая регулярного пучка 
и нулевой матрицы 
[5].
Поэтому при исследовании системы (1) с ненулевой матрицей естественен вопрос о ее приведении к системе у которой
, используя соответствующую замену переменной. Показать возможность такого перехода, а также его применение, снабдив слушателя предварительными фактами о системах не типа Коши-Ковалевской, когда 
, является целью доклада.
Будем предполагать, что в системе (1) пучок матриц 
регулярен, где под символами 
и 
понимаются некоторые числовые параметры или операторы.
Определение 1.
Пучок матриц 
регулярен, если 
,
где 
числовые параметры из 
.
Лемма 1[6].
Пусть пучок матриц 
регулярен. Тогда существуют невырожденные 
-матрицы 
и 
с постоянными элементами такие, что
где 
нильпотентные матрицы индекса 
соответственно: 
, 
некоторая 
-матрица, 
единичные матрицы размерности равной индексу, 
Определение 2[6].
Первые два слагаемые из правой части равенства (3) называется канонической (кронекеровой) структурой пучка матриц 
. Параметры 
называются индексами пар матриц 
и 
соответственно.
Лемма 2[6].
Пучок матриц 
регулярен тогда и только тогда, когда существует матричный многочлен
со свойством 
где
-постоянные матрицы.
Лемма 3.
Общее решение системы уравнений
где 
искомая вектор-функция, 
заданная вектор-функция, имеет вид
где 
произвольная вектор-функция,
.
Доказательство существования решения в виде (5) можно провести либо непосредственным вычислением, либо используя лемму 2, предварительно проинтегрировав систему (4). Единственность доказывается методом от противного.
Следствие 1.
Общее решение уравнения 
имеет вид:
Замечание 1.
Вместо (4) рассмотрим систему
скалярные операторы с постоянными коэффициентами. Тогда можно построить аналог формулы (5) и операторы в ней будут иметь вид 
где оператор 
является левым обратным к оператору 
Во втором слагаемом оператор 
действует не просто на произвольную вектор-функцию 
, а на ядро оператора
Перейдем к анализу разрешимости системы (1) в предположении, что 
Для этого воспользуемся леммой 1. Умножая систему (1) на матрицу 
и, производя замену, 
мы расщепим ее на три подсистемы:
где 
.
Очевидно, что задавая условия 
для второго и третьего уравнений системы (6), мы согласно лемме 3 и следствию к ней однозначно определим их решения в области 
:
Следует отметить, что при задании начальных условий на других границах области 
приводит к невозможности произвольного выбора задаваемых функций. Рассмотрим для простоты случай однородных систем. С необходимостью должны выполняться соотношения
где 
произвольные вектор-функции. Из (9) следует, что при выполнении условий совместности решение задачи Коши системы (4) существует, но не единственно.
Лемма 4.
Пусть: 1) многочлен 
ненулевой и его ненулевые корни положительные и простые;
2) 
где 
; 3) 
; 
; 4) 
Тогда в области 
система (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Решения двух последних уравнений (6) можно получить подставляя начальные условия и правые части в формулы (7), (8). Первая подсистема имеет вид:
. Пусть число ненулевых корней многочлена равно 
. Тогда матрицы 
в лемме 1 можно выбрать так, что 
и первая подсистема системы (6) будет гиперболической [7]. При наших предположениях характеристики этой системы: 
где 
произвольная постоянная, образуют острый угол с положительным направлением оси по 
, начальные и краевые условия совместны, следовательно краевая задача разрешима и имеет единственное решение [7]. Лемма доказана.
Замечание 2.
Зачастую на практике начальные и краевые условия задаются в виде
тогда для того, чтобы краевая задача была совместна необходимо и достаточно выполнение условий
В лемме 4 для упрощения выкладок требования на гладкость свободного члена и краевых условий существенно загрублены. В принципе можно учесть в требованиях на гладкость размеры нильпотентных блоков.
Перейдем к утверждению, которое в некоторых случаях, позволяет осуществить переход от системы с ненулевой матрицей 
к системе у
которой 
Лемма 5.
Если система матричных уравнений
разрешима относительно матриц 
и 
, то заменой переменных 
она сводится к системе 
Доказательство. После замены переменной система (1) примет вид 
где 
В силу предположения о разрешимости системы (11) относительно матриц 
и 
матричная экспонента 
перестановочна с 
и 
, 
Лемма доказана.
Следствие 2. Если найдется матрица 
и 
то в лемме 5 можно принять 
Если 
то можно принять 
Теорема 1.
Пусть: 1) выполнены условия 1), 2), 3) леммы 4;
2) в произведении 
из равенства (4) блоки 
3) содержит не более двух нулевых блоков вне диагонали и расположенных в одной строке или одном столбце, причем блоки 
и 
(не совпадающие с выделенными нулевыми) связаны условиями: 
или 
4) 
Тогда в области 
система (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть 
После умножения системы (1) на матрицу 
и замены 
получим
Рассмотрим последнюю подсистему, в предположении, что 
Воспользуемся следствием леммы 5 и выполним замену переменной 
где 
получим равенство
Откуда 
Подставляем 
во второе уравнение получим систему
в которой искомой является только вектор-функция 
определяемая по формуле (7) после соответствующей замены. Здесь учтено, что в силу свойств блоков 
и 
и перестановочности матриц 
После этого мы можем найти 
Так как компоненты 
и 
вычислены, их можно подставить в первую подсистему, которая является гиперболической и удовлетворяет условиям известной теоремы [7]. Другие случаи доказываются аналогично. Теорема доказана.
Безусловно, проверка условий 2), 3) теоремы 1 связана с большими трудностями, поэтому желательно иметь критерии в терминах входных данных. Приведем один такой частный критерий.
Лемма 6.
Для того, чтобы матрица 
имела структуру со свойствами из теоремы 1 необходимо, чтобы 
где 
параметры из равенства (4), а 
некоторые
коэффициенты.