|
|
(1.2) |
|
|
|
Орлова И.В.
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
1. Класс рассматриваемых систем и их решение
Под блочными алгебро – дифференциальными системами полуявного типа понимаются системы вида
|
Axў =Bx + f , |
(1.1) |
где
|
|
(1.2) |
|
|
|
Q1, Q2, R1, R2, R3, R4 - подматрицы соответственно размеров mґm, mґp, mґm, mґp, pґm, pґp, так что n=m+p, где n - порядок матриц А и В.
Известно (см. [1], с.28), что существуют квадратные матрицы
C0, C1, …, такие, что решение системы (1.1) сводится к решению систем|
|
(1.3) |
|
|
(1.4) |
Матрицы
C0, C1, …, входящие в систему (1.2)-(1.3) называются базовыми, и для их вычисления существуют конструктивные методы, изложенные в [1].Базовые матрицы являются решением системы
|
ACi -BCi+1 =di0E, i=0,1,…,k-1, |
(1.5) |
|
|
ACk=0, |
||
где
di0- символ Кронекера.Наименьшее число
k, при котором система (1.5) имеет решение, называется индексом пары матриц (А, В) (или системы (1.1)). Ясно, что если система (1.1) разрешима при некотором k0і 0, то она разрешима и при всех k>k0.. Заметим, что индекс пары матриц (А, В) не превышает их порядок.Для матрицы, стоящей в левой части системы (1.5), введем обозначение
|
|
Матрица
Бk имеет (k+1) блочных строк и порядок равный n(k+1), где n - порядок матриц А и В.Согласно теореме Кронекера – Капели система (1.5) разрешима в том и только в том случае, когда
|
rankБk =rank(Бk E), |
что, используя элементарные преобразования, можно записать следующим образом:
|
rankБk =n+rankБk -1 . |
(1.6) |
Необходимо отметить, что все эти результаты справедливы для случая, когда пара матриц (А, В) из системы (1.1) является регулярной.
Определение 1.1. Пара квадратных матриц (А, В) называется регулярной, если существует число
e, при котором матрица (B-eA) является невырожденной, т.е.|
det(B-eA)№ 0. |
Полезной является следующая теорема.
Теорема 1.1. Для того чтобы пара матриц (1.2), в которой det
R4 № 0, была регулярной необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число e, при котором выполнено неравенство|
det[(R1 – R2R4-1R3) –e (Q1 – Q2R4-1R3)] № 0. |
(1.7) |
Доказательство данной теоремы сводится к установлению условия при котором матрица (
B-eA) имеет обратную.Замечание 1.1. В случае произвольной пары матриц вида (1.2) из регулярности, очевидно, следует, что пара матриц (
R3 R4) имеет полный ранг, т.е.|
rank(R3 R4) = p. |
2. Индексы блочных систем
Согласно равенству (1.6) условием принадлежности блочной системы (1.1) к классу систем индекса
k является справедливость равенства|
rankБk =n+rankБk--1 , |
||
|
где
|
(2.1)
|
|
Для некоторых часто встречающихся на практике блочных систем данную формулировку можно значительно упростить. А именно, справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1. Пусть в системе
|
|
(2.2) |
||||
|
матрица |
|
неособенная. Тогда система (1.5) разрешима, при любом kі 0. |
|||
|
Доказательство. Используя неособенность матрицы |
|
, с помощью |
|||
элементарных преобразований легко получить равенства
|
rankБk = k(m+ p)+ rank(Q1 Q2), rankБk -1 = (k-1)(m+ p)+ rank(Q1 Q2). |
Отсюда
|
rankБk =n+ rankБk --1, |
т.е. получили равенство (2.1), а это и доказывает теорему.
Теорема 2.2. Если для системы (2.2) выполнено условие
|
|
|
|
|
Доказательство
сводится к вычислению решения системы (1.5). Эта система для нашей блочной структуры выглядит так:|
|
(2.3) |
Преобразуем систему (2.3), выделив в ней необходимую нам матрицу, и получим
|
|
Учитывая, что
|
|
видим, что матрицы С
i, i=2,…,k оказываются нулевыми.Таким образом, минимальное значение
k, при котором система (1.5) разрешима, есть k=1, и теорема 2.2 доказана.Теорема 2.3. Пусть в системе (2.2) матрица (
Q1 Q2) имеет полный ранг, т.е.|
rank(Q1 Q2)=m. |
Тогда для того чтобы эта система имела индекс 1, необходимо и достаточно, чтобы
|
матрица |
|
была неособенной. |
Достаточность.
Следует из теоремы 2.2.|
Необходимость. Предположим, что |
|
Является особенной, тогда |
|
rankБ1 < m+n=2m+ p, |
||
в то же время из равенства (2.1)
|
rankБ1= n+ rank(Q1 Q2)= 2m+ p. |
Полученное противоречие доказывает необходимость условия теоремы.
Из теоремы 2.3 вытекает следствие, неоднократно разными способами доказанное ([2], с.115, [3], с.11).
Следствие 2.1. Для того чтобы система вида
|
|
(2.4) |
имела индекс 1, необходимо и достаточно, чтобы матрица
R4 была неособенной.Доказательство. Для системы (2.4) выполнены все условия теоремы 2.3. Действительно, в данном случае
Q1=E, Q2=0. Следовательно,|
rank(Q1 Q2)= m |
и матрица
|
|
является неособенной в том и только в том случае, когда det
R4 № 0.Для дальнейшего исследования введем обозначения, а именно:
|
Q = Q1 – Q2R4-1R3, R = R1 – R2R4-1R3. |
Теорема 2.4.
Система (1.5), в паре матриц (1.2) которой detR4 № 0, совместна, если и только если|
|
(2.5) |
где в левой части матрица имеет размеры (
km+1)ґ (km+2), а в правой – ((k-1)m+1)ґ ( (k-1)m+2).Доказательство
теоремы получается из необходимого и достаточного условия (1.6) с помощью элементарных преобразований над входящими в матрицы блоками, с учетом неособенности матрицы R4.Теорема 2.5.
Если в системе (2.2) матрицы R4 и Q неособенные, то равенство рангов (2.5) (а, следовательно, и (2.1)) выполнено при всех kі 1.Доказательство.
Для левой части (2.5), учитывая, что detQ № 0 получим|
|
а для правой –
|
|
Полученные выражения равны, что и доказывает справедливость теоремы.
Теорема 2.6. Если для системы (2.2) выполнены условия det
R4 № 0 и detQ№ 0, то система имеет индекс 1.Доказательство. Систему (2.3), полученную для нашей блочной структуры, учитывая, что det
R4 № 0, запишем в виде|
|
(2.6) |
Далее, используя условие det
Q№ 0, видим, что одна часть блоков матриц Сi, i=2,…,k состоят из нулевых матриц, а другая – из произвольных. Произвольные блоки можно положить, равными, в частности, нулю, так что система (1.5) оказывается разрешимой при k=1. Этим и исчерпывается доказательство теоремы.Теорема 2.7. Если в регулярной системе (2.2) матрица
R4 неособенная, а Q=0, то равенство рангов (2.5) (а, следовательно, и (2.1)) выполнено при всех kі 1.Доказательство.
Преобразуем левую и правую части (2.5), учитывая следующее. Так как пара матриц (1.2) регулярна и Q = Q1 – Q2R4-1R3=0, то согласно неравенству (1.7) матрица R = R1 – R2R4-1R3 неособенная. Но тогда|
|
т.е. равенство (2.5) выполнено и, следовательно, теорема доказана.
Замечание 2.2. Если для системы (2.2) выполнены условия теоремы 2.7, то эта система имеет индекс 1 или 2, причем индекс 1 возможен только в том случае, когда матрицы
Q1 и Q2 нулевые.Для доказательства справедливости этого замечания преобразуем систему (2.6):
|
|
(2.7) |
Заметим, что из последних четырех равенств (2.7) видно, что блоки матриц С
i, i=3,…,k нулевые или произвольные. Полагая их нулевыми, систему можно рассматривать как систему индекса 1 или индекса 2. Рассмотрим эти случаи.Теорема 2.8. Если в регулярной системе (2.2) det
Доказательство вытекает из доказательства замечания 2.2.
Теорема 2.9. Пусть в регулярной системе (2.2) det
R4 № 0 и Q=0. Тогда пара матриц в ней имеет индекс 1 только если матрицы Q1 и Q2 являются нулевыми.Доказательство. Из регулярности системы и условия
Q=0 в силу неравенства (1.7) следует, что detR№ 0. Но тогда из равенства (2.5), которое для системы индекса 1 имеет вид|
|
вытекает равенство
|
rank(Q1 Q2)=0 , |
откуда следует, что матрицы
Q1 и Q2 нулевые.При практических применениях сформулированных теорем можно использовать равенство
|
|
Для вычисления псевдообратной матрицы
A+ хорошо зарекомендовал себя метод Фаддеева, специально приспособленный для этих целей (см. [1], с.53)
Библиография
,
.
,
.
.
.
.
.
,
,
,
.
,
,
,
.