Информационная система "Конференции"

Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям

29-31 октября 2002 г., Новосибирск, Академгородок

Бормотова О.В.
Институт динамики систем и теории управления СО РАН ИДСТУ СО РАН, Иркутск

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РЕШЕНИЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НЕ ТИПА КОШИ-КОВАЛЕВСКОЙ

Рассматривается система дифференциальных уравнений

(1)

где A,B,C — (n×n)–постоянные матрицы, — искомая и заданная вектор–функции соответственно, . Предполагается, что , т.е. система (1) не является системой типа Коши-Ковалевской; пучок матриц регулярен: , где ; вектор–функция f достаточно гладкая в области U. Такие системы возникают в различных прикладных задачах, поэтому интерес к ним сейчас заметно возрос [1],[2].

Лемма 1. Пусть пучок матриц регулярен. Тогда существуют невырожденные (n×n) – матрицы P и Q с постоянными элементами такие, что

(2)

где N, M — нильпотентные матрицы индекса и соответственно: , J — неособенная (d×d) – матрица, — единичные матрицы размерности, равной индексу, .

Для исследования системы (1) воспользуемся леммой 1. Умножая систему (1) слева на матрицу P и производя замену u=Qz, мы получим систему:

(3)

где , , T – символ транспонирования.

Лемма 2. Общее решение системы уравнений

(4)

с начальным условием , где искомая вектор-функция, заданная вектор-функция, имеет вид

(5)

Доказательство получается прямой подстановкой вектор–функции в уравнение (4).

Следствие. Общее решение системы уравнений

(6)

с начальным условием имеет вид

(7)

Леммы 1,2 и результаты монографии [3] и работы [4] позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть

  1. многочлен det(λA+B)≠0 и его ненулевые корни отрицательные и простые;

  2. где

    3. ;

  3. ;

  4. в произведении из равенства (2) блоки ;

  5. содержит не более двух нулевых блоков вне диагонали и расположенных в одной строке или одном столбце, причем блоки и (не совпадающие с выделенными нулевыми) связаны условиями: или , , ;

  6. где
.

Тогда в области U система (1) имеет единственное решение.

Пусть граничные и начальные условия для уравнения (1) удовлетворяют условиям теоремы 1. Введем сетки узлов по пространственной и временной переменным:

и сетку в области U:

Аппроксимируем систему (1) неявной разностной трехточечной схемой:

, (8)

где с условиями на границах области U

В результате замены производных конечными разностями получаем систему линейных алгебраических уравнений для вычисления значений сеточной функции . Используя краевые и начальные условия, из системы (8) можно последовательно рассчитать :

где . В силу регулярности пучка число k можно выбранть так, что матрица обратима и , следовательно, все определены однозначно.

Воспользовавшись леммой 1, выполним для системы (8) те же преобразования, что были выполнены для системы (1). В результате получим систему разностных уравнений

(9)

с условиями

Рассмотрим систему (9) в предположении, что матрица имеет структуру

где один из блоков или равен нулю. Для определенности положим . Для определенности рассмотрим разностное уравнение вида

(10)

которое аппроксимирует уравнение (4) с начальными условиями

.

Лемма 3.[5] Если целочисленный параметр , то решение разностной системы (10) имеет следующий вид

(11)

где , – биномиальные коэффициенты.

Лемма 4.[5] Пусть в системе (4) функция , тогда справедлива оценка

где — решение системы (10), а — решение системы (4), вычисленное при соответствующих краевых условиях.

В данных предположениях на матрицу последнее разностное уравнение системы (9) имеет вид (10), и на основании лемм 3,4 мы можем утверждать, что это уравнение однозначно разрешимо и его решение сходится к точному решению третьего уравнения системы (3) в условиях теоремы 1. Однозначная разрешимость вытекает из того, что матрица N+κE обратима .

Второе разностное уравнение системы (9) имеет вид:

(12)

После подстановки решения можно аналогичным образом доказать однозначную разрешимость и сходимость его решения к точному решению второго уравнения системы (3) также в условиях теоремы 1.

Первое уравнение системы (9) детально изучено в книге [3]. Так как и аппроксимируют решения второго и третьего уравнения системы (3), легко показать сходимость разностной схемы для первого уравнения.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть:

  1. выполнены условия теоремы 1;

  2. в разностной схеме (9) справедливо соотношение где
— максимальное из кор-

ней уравнения .

Тогда справедлива оценка , где — решение системы (8) и .

Из вида формул разностного дифференцирования можно заключить, что вблизи края области U аппроксимация решений краевой задачи для системы (1) отсутствует и наблюдаются “пограничные слои ошибок”. Это подтвердили численные эксперименты, которые проводились по следующей схеме: задавались параметры и матрицы в виде нильпотентных жордановых ящиков размерности , а также диагональная матрица J. Домножением справа и слева на неособенные матрицы P и Q получались матрицы A и B. В уравнение (1) подставлялась известная вектор-функция и формировались правая часть системы и начальные и краевые условия: . Полученная краевая задача решалась по схеме (8).

Литература

  1. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН “Наука”, 1998.

  2. Таиров Э.А., Запов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 1991, вып. 3, С. 14–20.

  3. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. – 416 с.

  4. Гайдомак С.В. О заменах переменных в системах не типа Коши-Ковалевской. // Тезисы докладов междунар. конференции молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям, 29-31 октября 2002г, Новосибирск.

  5. Бормотова О.В., Чистяков В.Ф. Об одном методе численного решения систем не типа Коши-Ковалевской // Материалы международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование". Ч.1. – Улан-Удэ, 2002. – С. 105–111.