Информационная система "Конференции"

Моделирование ламинарно-турбулентного перехода параллельных течений двухфазных сред

Попов, Д.И.
Алтайский государственный университет

Данная работа посвящена анализу устойчивости и моделированию ламинарно-турбулентного перехода параллельных течений двухфазной несжимаемой жидкости. Одним из первых уравнений для исследования гидродинамической устойчивости явилось уравнение Орра-Зоммерфельда, описывающее пространственное распределение функции тока некоторого малого гармонического возмущения в случае плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости. Это уравнение стало одним из центральных соотношений в теории линейной устойчивости. Решению этого уравнения, а так же возникающей при этом задачи на собственные значения, было посвящено огромное количество работ. Результатом подобных исследований послужило создание большого числа методик решения как аналитических (Линь, Ц.Ц.), так и численных (метод Галеркина, ортогонализации, дифференциальной прогонки, метод К.И. Бабенко), с помощью которых была получена наиболее адекватная картина устойчивости.

Однако изучение устойчивости в рамках линейной и слабо нелинейной теории сводилось к рассмотрению гомогенных течений. Впервые на подобную ситуацию обратил внимание П. Саффмен[1], который сформулировал задачу линейной устойчивости для сильноразреженной крупнодисперсной газовзвеси. Для описания подобных сред Саффмен использовал модель сильно разреженной крупнодисперсной бесстолкновительной двухфазной смеси, которая может быть описана уравнением Навье-Стокса для несущей фазы и уравнением переноса для частиц; межфазное взаимодействие в смеси определяется силой Стокса. Таким образом уравнения движения записываются в следующем безразмерном виде:

	(1)

Здесь Re=U_o Lρ_f /μ  - число Рейнольдса и S=2/9(a/L)² ρ_p^*  / ρ_f - безразмерное время релаксации; будем рассматривать напорное течение двухфазной смеси в канале кольцевого сечения, тогда a-радиус частицы, L- ширина зазора между цилиндрами, U_o- среднерасходная скорость; f=M /ρ_f  · n_f - безразмерная массовая плотность континуума частиц, M=4/3 π a³  · ρ_p^* - масса частицы; ρ_p^*,  ρ_f - плотности материала частиц и несущей жидкости. Индексы f и p относятся соответственно к несущей жидкости и частицам.

Граничными условиями для частиц и для несущей жидкости будут условие непроницаемости границ и обычное условие прилипания на стенках канала

,

Линеаризуем систему (1) в окрестности стационарного решения. Будем рассматривать элементарные волновые решения в виде гармонического колебания. Используя стандартные преобразования и обозначения, как приведено в [2], получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения радиальной структуры поля возмущений

	(2)

С граничными условиями

(3)

Система (2) с граничными условиями (3) представляет собой задачу на собственные значения. Здесь

Где α,  m - осевое и азимутальное волновые числа; c=X+iY - собственное значение системы (2), где X- фазовая скорость возмущения, а α Y - инкремент нарастания (Y>0) или декремент затухания (Y<0) возмущения; k=f,p. Задача на собственные значения (3),(4) решалась численно методом дифференциальной прогонки. Сущность метода заключается в вычислении уравнения некоторого подпространства решений, удовлетворяющим заданным на одном из концов граничным условиям.

Уравнение подпространства размерности l=m-n в линейном векторном пространстве определяется совокупностью m линейных связей

(4)

Здесь вектор z определяется множеством всех решений некоторой системы линейных дифференциальных уравнений

Граничные условия при заданном y=0, в самом общем случае, имеют вид (4) (причем (4) справедливо для любого y). Они выделяют некоторое подпространство в пространстве решений z_k(y), поэтому необходимо определить компоненты матрицы M(y) и вектора d(y) так, чтобы условие (4) выделяло одно и то же подпространство для всех y.

Преимущество метода заключается в том, что при решении задачи (2),(3) для поиска собственных значений можно использовать итерационные методы. И исследовать на нули некоторую мероморфную характеристическую функцию F(c). Для изучения свойств F(c) в некоторой комплексной области используют методы ТФКП или метод идентификации корней функции F(c).

Ранее произведенные расчеты показали, что критические зависимости определяются временем релаксации S и концентрацией частиц. Обнаружено, что добавление частиц может существенно повлиять на характер устойчивости, вид критических зависимостей и поведение возмущений по сравнению со случаем однофазных течений [3-5]. При малых значениях S добавление частиц оказывает дестабилизирующее влияние на течение, а с увеличением размера частиц движение стабилизируется. При определенных значениях f наблюдается "скачкообразный" характер стабилизации. Так при непрерывном изменении S соответствующее значение критического числа Рейнольдса может "скачком" возрасти на порядок.

В результате расчетов было обнаружено, что нейтральные зависимости, определяющие области, в которых возмущения нарастают или затухают со временем, для различных спектральных азимутальных волновых чисел при фиксированном значении безразмерного радиуса внутреннего цилиндра образуют некоторую результирующую нейтральную кривую, имеющую ступенчатый вид (см., например, рис.1a, где изображены нейтральные зависимости при ξ=1,f=0.1 и S=1.e-6 для различных спектральных азимутальных мод m, или рис.1b, на котором изображены нейтральные зависимости при ξ=2.5, f=0.1 и S=1.56e-6). Причем с ростом номера моды нейтральные кривые смещаются в длинноволновую область (область меньших значений осевого волнового числа). Анализ нейтральных зависимостей показал, что при определенных значениях безразмерного радиуса внутреннего цилиндра наиболее опасными становятся несимметричные моды.

Рис.1              

На рис.2 приведены графики нейтральных зависимостей для моды m=3 при ξ=2.5 для различных значений массовой концентраций частиц и времени релаксации. Из приведенных зависимостей видно, что при малых концентрациях добавление частиц слабо сказывается на характере устойчивости по сравнению с однородной средой. Для "умеренной" концентрации картина устойчивости непосредственно определяется временем релаксации, причем при увеличении размера частиц происходит не только смещение нейтральных кривых в сторону больших или меньших чисел Рейнольдса, но и заметная деформация нейтральных кривых.

Рис.2                

При "умеренных" и больших концентрациях частиц наблюдается "перезамыкание" ветвей нейтральных зависимостей и образование двух областей нейтральной кривой. Причем в случае малых спектральных азимутальных номеров при уменьшении радиуса внутреннего цилиндра области нейтральной кривой стягиваются и исчезают, либо смещаются в область больших значений чисел Рейнольдса. Расчеты показали, что в случае моды m=10 "перезамыкание" пропадает при уменьшении радиуса внутреннего цилиндра (см. рис.3а, на котором изображены нейтральные зависимости при значениях ξ=5,10,50, f=0.3 и S=1.56e-6 для моды m=10). На рис.3b изображены нейтральные зависимости в случае моды m=0 для различных ξ при S=1.56e-6. Эти зависимости демонстрируют изменение формы нейтральной кривой при уменьшении радиуса внутреннего цилиндра в случае осесимметричной моды. Из данного графика также видно, что область (a) нейтральной кривой при уменьшении радиуса стягивается и исчезает, а область (b) смещается в сторону больших чисел Рейнольдса.

Рис.3              

Произведенные расчеты подтвердили тот факт, что в случае течений между коаксиальными цилиндрами недостаточно ограничиваться рассмотрением только осесимметрических возмущений, поскольку существуют области значений радиуса внутреннего цилиндра, при которых наиболее опасными становятся младшие азимутальные моды m=1,2,3. Метод дифференциальной прогонки с момента своего появления (заслуга разработки и внедрения которого принадлежат Сапожникову) остается одним из наиболее эффективных методов изучения устойчивости.

Литература