К вопросу о расчёте тепловых
потокОВ в кольце при переменной внешней температуре
Голубева М.С., Аюев В.В.
Калужский филиал Московского государственного
технического университета им. Н.Э. Баумана
Аннотация. В работе
рассматривается численное решение задачи о тепловых потоках в однородном
кольце, при переменной внешней температуре и краевых условиях третьего типа.
Указан метод решения этой задачи для неоднородного кольца.
1. Введение
Процесс теплопроводности в достаточно тонкой слабоискривлённой оболочке при наличии внешней теплоотдачи может быть описан двумерной моделью [1], которая приводит к уравнению поля температур T вида:
. (1)
Здесь q1, q2 – ортогональная криволинейная система координат на поверхности оболочки, а H1, H2 – коэффициенты Ламе первой квадратичной формы, H(q1, q2) – толщина оболочки, k(q1, q2) – коэффициент теплопроводности материала оболочки, χ(q1, q2) – коэффициент внешнего теплообмена.
В случае, когда T постоянна вдоль одной из координат, можно рассматривать задачу об одномерном тепловом потоке вдоль направления изменения T.
2. Постановка задачи
Рассмотрим кольцо с внутренним радиусом r1 и внешним радиусом R: . Пусть тепловой поток направлен вдоль радиуса r и не зависит от угла вращения. Тогда при постоянных p = kH и χ уравнение для кольца имеет вид:
. (2)
Зададим граничные условия третьего типа:
, (3)
где α1, α2, β1 и β2 – заданные постоянные.
Рассмотрим вопрос о нахождении тепловых потоков на внутренней и внешней границах кольца.
3. Решение задачи
Введём обозначение:
. (4)
Решение уравнения (2) будет иметь вид:
, (5)
где w – частное решение (2), а C1 и C2 определяются из (3).
Пусть внешняя температура постоянна: , тогда .
Тепловой поток вдоль радиуса определяется соотношением
. (6)
Полный поток через окружность радиуса r будет определяться следующим образом:
. (7)
Нас будут интересовать токи на границах и . Представим их как линейные функции от T1 и T2:
. (8)
Матрицу P
(9)
будем называть матрицей теплопроводимости кольца. Её элементы зависят от граничных условий, ширины кольца, а также физических параметров p и χ.
Матрица Q
. (10)
называется матрицей дополнительных токов. Элементы Q1 и Q2 зависят от элементов матрицы P и внешней температуры Tb. Для рассматриваемого случая элементы матриц P и Q выражаются через Бесселевы функции от мнимого аргумента первого и второго рода.
Если внешняя
температура непостоянна, то нахождение решения (2)-(3) в общем случае вызывает
определённые трудности.
Разобьём кольцо концентрическими окружностями с центром, совпадающим с центром кольца, и радиусами ri на n колец (см. рис. 1):
, (11)
Рис. 1. Разбиение кольца
где h – шаг разбиения – выбирается достаточно малым, чтобы значения Tb на i-ом кольце можно было бы считать постоянным, например,
. (12)
В дальнейшем все величины, относящиеся i-ому к кольцу, снабдим верхним индексом (i).
Получим
матрицы теплопроводимости и матрицы дополнительных токов для каждого кольца.
Зададим функции f, g и h:
. (13)
Отметим, что
. (14)
Матрица теплопроводимости для
начального кольца (i = 1):
, (15)
где
. (16)
Здесь
. (17)
Матрица дополнительных токов для начального кольца имеет вид:
. (18)
Матрицы теплопроводимости для
внутренних колец (i = 2, 3, …, n - 1):
, (19)
где
. (20)
Здесь
. (21)
Матрицы дополнительных токов для внутренних колец имеет вид:
. (22)
Матрица теплопроводимости для
последнего кольца (i = n):
, (23)
где
. (24)
Здесь
. (25)
Матрица дополнительных токов для последнего кольца имеет вид:
. (26)
Для нахождения токов J1 и J2 необходимо найти матрицу теплопроводимости и дополнительных токов для всего кольца в целом. Она находится из матриц для i-ых колец. Будем считать, что любое i-ое кольцо контактирует идеально с (i+1)-ым кольцом и в месте контакта выполняется условие сохранения тепловых потоков, т.е.
(27)
Тогда объединению колец будут соответствовать матрицы PU1 и QU1 (здесь верхний индекс показывает номер итерации), полученные из P(1), P(2), Q(1) и Q(2):
, (28)
, (29)
где
. (30)
Теперь, считая объединённую пару одним кольцом, а третье кольцо – следующим, можно получить матрицы объединения трёх колец:
, (31)
. (32)
Присоединив последнее n-ое кольцо к уже объединённой системе из n-1 колец, получим искомые матрицы P и Q:
, (33)
. (34)
Предложенный алгоритм был реализован при помощи пакета MathCAD® 2001 компании MathSoft™.
4. Заключение
Следует заметить, что при переменных p и χ уравнение (1), вообще говоря, отличается от (2) и задача может ещё более усложниться. Однако, если мы будем считать величины pi и χi постоянными на каждом i-ом кольце разбиения, то получим уравнение типа (2). Предложенный метод позволяет найти матрицы P и Q объединения таких колец.
Список обозначений
H1,
H2 – коэффициенты Ламе первой квадратичной формы;
H – толщина кольца;
k – коэффициент теплопроводности материала кольца;
χ – коэффициент внешнего теплообмена;
T(r) – распределение температуры вдоль радиуса r.
Tb(r) – распределение внешней температуры вдоль радиуса r;
r1 - внутренний радиус кольца;
R – внешний радиус кольца;
p – теплопроводность;
J1,
J2 – токи тепла через внутреннюю и внешнюю границы
кольца соответственно;
I0(x), I1(x), K0(x), K1(x) – функции Бесселя от мнимого аргумента первого и второго рода;
α1, α2, β1 и β2 – постоянные, заданные внешним теплообменом.
Литература
1. Голубева М.С. К вопросу о расчете тепловых потоков в
системе контактирующих оболочек //Тр. XIII школы-семинара молодых ученых и
специалистов под рук. акад. А.И. Леонтьева, стр.198-201. 2001г. С.-Петербург.
2. Гладышев Ю.А., Голубева М.С. Формализм Берса и задача
построения тепловых потоков в системе контактирующих оболочек. (Часть 1) 13 с.,
депонирована в ВИНИТИ.
3. Гладышев Ю.А., Голубева М.С. Формализм Берса и задача
построения тепловых потоков в системе контактирующих оболочек. (Часть 2) 24 с.,
депонирована в ВИНИТИ.
4. Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в
тонкослойной среде. // Тр. 1-й РНК по теплообмену. М.: Т.10 (Часть 1), 1995.
Abstract. The main purpose of this paper is to
give the numerical decision of a problem about thermal streams on uniform ring
at variable external temperature and regional conditions of the third type. The
method of the decision of this problem for a non-uniform ring is specified.