К вопросу о расчёте тепловых потокОВ в кольце при переменной внешней температуре

 

Голубева М.С., Аюев В.В.

Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

 

Аннотация. В работе рассматривается численное решение задачи о тепловых потоках в однородном кольце, при переменной внешней температуре и краевых условиях третьего типа. Указан метод решения этой задачи для неоднородного кольца.

 

 

1. Введение

Процесс теплопроводности в достаточно тонкой слабоискривлённой оболочке при наличии внешней теплоотдачи может быть описан двумерной моделью [1], которая приводит к уравнению поля температур T вида:

                            .                       (1)

Здесь q1, q2 – ортогональная криволинейная система координат на поверхности оболочки, а H1, H2 – коэффициенты Ламе первой квадратичной формы, H(q1, q2) – толщина оболочки, k(q1, q2) – коэффициент теплопроводности материала оболочки, χ(q1, q2) – коэффициент внешнего теплообмена.

В случае, когда T постоянна вдоль одной из координат, можно рассматривать задачу об одномерном тепловом потоке вдоль направления изменения T.

 

 

2. Постановка задачи

Рассмотрим кольцо с внутренним радиусом r1 и внешним радиусом R: . Пусть тепловой поток направлен вдоль радиуса r и не зависит от угла вращения. Тогда при постоянных p = kH и χ уравнение для кольца имеет вид:

                                                        .                                                   (2)

Зададим граничные условия третьего типа:

                                                               ,                                                          (3)

где α1, α2, β1 и β2 – заданные постоянные.

Рассмотрим вопрос о нахождении тепловых потоков на внутренней и внешней границах кольца.

 

 

3. Решение задачи

Введём обозначение:

                                                                       .                                                                  (4)

Решение уравнения (2) будет иметь вид:

                                                   ,                                              (5)

где w – частное решение (2), а C1 и C2 определяются из (3).

Пусть внешняя температура постоянна: , тогда .

Тепловой поток вдоль радиуса определяется соотношением

                                                                 .                                                             (6)

Полный поток через окружность радиуса r будет определяться следующим образом:

                                                                .                                                            (7)

Нас будут интересовать токи на границах  и . Представим их как линейные функции от T1 и T2:

                                                     .                                                 (8)

Матрицу P

                                                                                                                               (9)

будем называть матрицей теплопроводимости кольца. Её элементы зависят от граничных условий, ширины кольца, а также физических параметров p и χ.

Матрица Q

                                                                      .                                                               (10)

называется матрицей дополнительных токов. Элементы Q1 и Q2 зависят от элементов матрицы P и внешней температуры Tb. Для рассматриваемого случая элементы матриц P и Q выражаются через Бесселевы функции от мнимого аргумента первого и второго рода.

Если внешняя температура непостоянна, то нахождение решения (2)-(3) в общем случае вызывает определённые трудности.

Разобьём кольцо концентрическими окружностями с центром, совпадающим с центром кольца, и радиусами ri на n колец (см. рис. 1):

                                                 ,                                          (11)

 

 

Рис. 1. Разбиение кольца

 

где h – шаг разбиения – выбирается достаточно малым, чтобы значения Tb на i-ом кольце  можно было бы считать постоянным, например,

                                                             .                                                      (12)

В дальнейшем все величины, относящиеся i-ому к кольцу, снабдим верхним индексом (i).

            Получим матрицы теплопроводимости и матрицы дополнительных токов для каждого кольца.

Зададим функции f, g и h:

                                              .                                       (13)

Отметим, что

                                                                  .                                                           (14)

Матрица теплопроводимости для начального кольца (i = 1):

                                                                 ,                                                          (15)

где

                                             .                                       (16)

Здесь

                                                     .                                               (17)

Матрица дополнительных токов для начального кольца имеет вид:

                                                   .                                            (18)

Матрицы теплопроводимости для внутренних колец (i = 2, 3, …, n - 1):

                                                                 ,                                                          (19)

где

                                                       .                                                (20)

Здесь

                                                                  .                                                           (21)

Матрицы дополнительных токов для внутренних колец имеет вид:

                                                     .                                              (22)

Матрица теплопроводимости для последнего кольца (i = n):

                                                                ,                                                         (23)

где

                                         .                                  (24)

Здесь

                                                  .                                           (25)

Матрица дополнительных токов для последнего кольца имеет вид:

                                                  .                                           (26)

 

Для нахождения токов J1 и J2 необходимо найти матрицу теплопроводимости и дополнительных токов для всего кольца в целом. Она находится из матриц для i-ых колец. Будем считать, что любое i-ое кольцо контактирует идеально с (i+1)-ым кольцом и в месте контакта выполняется условие сохранения тепловых потоков, т.е.

                                                                                     (27)

Тогда объединению колец будут соответствовать матрицы PU1 и QU1 (здесь верхний индекс показывает номер итерации), полученные из P(1), P(2), Q(1) и Q(2):

                                     ,                              (28)

                                  ,                           (29)

где

                                                                   .                                                             (30)

Теперь, считая объединённую пару одним кольцом, а третье кольцо – следующим, можно получить матрицы объединения трёх колец:

                                                             ,                                                       (31)

                                                      .                                               (32)

Присоединив последнее n-ое кольцо к уже объединённой системе из n-1 колец, получим искомые матрицы P и Q:

                                                       ,                                                 (33)

                                              .                                       (34)

Предложенный алгоритм был реализован при помощи пакета MathCAD® 2001 компании MathSoft™.

 

 

4. Заключение

Следует заметить, что при переменных p и χ уравнение (1), вообще говоря, отличается от (2) и задача может ещё более усложниться. Однако, если мы будем считать величины pi и χi постоянными на каждом i-ом кольце разбиения, то получим уравнение типа (2). Предложенный метод позволяет найти матрицы P и Q объединения таких колец.

 

 

Список обозначений

H1, H2 – коэффициенты Ламе первой квадратичной формы;

H – толщина кольца;

k – коэффициент теплопроводности материала кольца;

χ – коэффициент внешнего теплообмена;

T(r) – распределение температуры вдоль радиуса r.

Tb(r) – распределение внешней температуры вдоль радиуса r;

r1 - внутренний радиус кольца;

R – внешний радиус кольца;

p – теплопроводность;

J1, J2 – токи тепла через внутреннюю и внешнюю границы кольца соответственно;

I0(x), I1(x), K0(x), K1(x) – функции Бесселя от мнимого аргумента первого и второго рода;

α1, α2, β1 и β2 – постоянные, заданные внешним теплообменом.

 

 

Литература

1.      Голубева М.С. К вопросу о расчете тепловых потоков в системе контактирующих оболочек //Тр. XIII школы-семинара молодых ученых и специалистов под рук. акад. А.И. Леонтьева, стр.198-201. 2001г. С.-Петербург.

2.      Гладышев Ю.А., Голубева М.С. Формализм Берса и задача построения тепловых потоков в системе контактирующих оболочек. (Часть 1) 13 с., депонирована в ВИНИТИ.

3.      Гладышев Ю.А., Голубева М.С. Формализм Берса и задача построения тепловых потоков в системе контактирующих оболочек. (Часть 2) 24 с., депонирована в ВИНИТИ.

4.      Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в тонкослойной среде. // Тр. 1-й РНК по теплообмену. М.: Т.10 (Часть 1), 1995.

 

 

Abstract. The main purpose of this paper is to give the numerical decision of a problem about thermal streams on uniform ring at variable external temperature and regional conditions of the third type. The method of the decision of this problem for a non-uniform ring is specified.