Модифицированные когерентные меры риска

Т.А. Мартынова

Институт вычислительного моделирования СО РАН

 

Содержание

1 Введение

2 Когерентные меры риска

2.1 Множества приемлемых рисков

2.2 Связь между множествами приемлемых рисков и мерами риска

3 Обобщенные когерентные меры риска

4 Необходимость модификации когерентных и обобщенных когерентных мер

5 Модификация когерентных мер риска

5.1. Утверждение 5.1.

5.2. Утверждение 5.2.

6 Заключение

7 Список использованной литературы

 

1 Введение

В данной работе мы рассмотрим два класса мер риска – когерентные меры риска, введенные Артцнером, Делбином, Эбером и Хифом [ADEH] и обобщенные когерентные меры, предложенные Р. Джерроу и А. Пурнанандомом, определим их достоинства и недостатки и попробуем модифицировать когерентные меры таким образом, чтобы объединить достоинства двух названных классов мер риска.

 

Основным объектом нашего изучения будут случайные величины на множестве состояний среды на некоторый момент в будущем. Эти случайные величины интерпретируются как будущие значения позиций или портфелей, имеющихся в настоящее время. Для начала оценка риска позиции будет заключаться в том, принадлежит ли будущее ее значение подмножеству приемлемых рисков. Это определяет некий контролер.

 

Если риск оценивается как недопустимый, то существует два выхода: изменение позиции или поиск какого-то инструмента, который при добавлении к текущей позиции делает ее будущее значение приемлемым для регулятора. Текущая цена достаточного количества такого инструмента может быть взята за меру риска поначалу недопустимой позиции.

 

Назовем риском будущий собственный капитал инвестора на некоторый момент в будущем.

 

2 Когерентные меры риска

2.1 Множества приемлемых рисков.

Пусть Ω – пространство элементарных исходов. Предполагаем, что оно конечно. Его элементы – это различные состояния среды. Для каждого состояния среды можно вычислить соответствующий ему итоговый собственный капитал портфеля. Эту случайную величину обозначим X.

 

Пусть Ψ – множество всех рисков, представляющее собой множество всех вещественных функций на  Ω. Т.к. Ω по нашему предположению конечно, то Ψ можно отождествить с Rn, где n=card(Ω).  Конус неотрицательных элементов Ψ обозначим через L+,, а конус неположительных элементов  (за вычетом начала координат) – L -.

 

Множество итоговых собственных капиталов, которые являются приемлемыми для регулятора, назовем множеством приемлемых рисков. Будем обозначать его A.

 

Аксиомы множеств приемлемых рисков

A1:  L+ Ì A.

A2: A не пересекает множество L --, где L --= {X | " wÎ Ω, X(w)<0}

A3: A   - выпуклое множество (т.е. неприятие риска отражается на оценках регуляторов)

A4:  A  - положительный однородный конус.

2.2 Связь между множествами приемлемых рисков и мерами риска

Определение 2.1 Мера риска – это отображение множества Ψ в R.

Положительное число ρ(Х), приписанное мерой ρ риску Х будет интерпретировано как минимальное дополнительное количество денежных средств, которые должен добавить агент к портфелю с риском Х, чтобы его риск стал приемлемым.

 

Если число ρ получается отрицательным, то объем денежных средств – ρ(Х) может быть изъят из портфеля или может быть получен как возмещение.

 

Определение 2.2 Мерой риска, соответствующей множеству приемлемых рисков А для заданной нормы прибыли r является отображение Ψ в R, заданное формулой

ρA, r(X)= inf {m | m×r+X Î A}

Эту формулу можно при желании упростить, если провести дисконтирование риска Х.

 

Определение 2.3 Множеством приемлемых рисков, соответствующим мере риска ρ является  множество Aρ:

Aρ={XÎ Ψ  | ρ(X) £ 0}.

Для мер риска также можно написать систему аксиом, которая будет связана с аксиомами для множеств приемлемых рисков:

И (инвариантность относительно сдвига):

ρ(X+a×r)=ρ(X)-a, "aÎR, XÎΨ

Следствие: ρ(X+ρ(X)r)=0, "XÎΨ

C (субаддитивность):

ρ(X1+X2) £ ρ(X1)+ρ(X2), "X1, X2 Î Ψ

ПО (положительная однородность):

ρ(λX)=λρ(X), "λ ³ 0, XÎΨ

М (монотонность)

"X, Y Î Ψ, X £ Y  ρ(Y) £ ρ(X)

З (значимость):

"XÎ Ψ, X<0  ρ(X)>0

Определение 2.4 Когерентной называется мера риска, удовлетворяющая аксиомам И,С,ПО,М,З.

 

Можно доказать следующие предложения, показывающие связь между аксиомами когерентных мер риска и аксиомами множеств приемлемых рисков:

 

Предложение 2.1 Если множество В удовлетворяет аксиомам А1-А4, мера риска ρB когерентна. Более того,  - замыкание B.

 

Предложение 2.2 Если мера риска ρ когерентна, то множество приемлемых рисков Aρ замкнуто и удовлетворяет аксиомам А1-А4. Более того, .

 

3 Обобщенные когерентые меры риска

Определение 3.1 Обобщенной когерентной мерой называется мера риска, удовлетворяющая 4 аксиомам из модели ADEH (C, ПО, М, З), а также новой аксиоме – аксиоме кратчайшего пути (КП):

Пусть Hρ = {XÎ Ψ: ρ(X)=0 }

Для любого XÎ Ψ существует портфель X*Î Hρ такой, что:

-        X* - точка, находящаяся на кратчайшем расстоянии от Х до множества Hρ

-        "λÎR: 0£ λ £ ρ(X) ρ(X+λ×u)=ρ(X)-λ, где u – единичный вектор в направлении (X* - X) (например, )

 

Определение 3.2 Множество AÌΨ называется обобщенным множеством приемлемых рисков, если оно обладает следующими свойствами:

1.      XÎA тогда и только тогда, когда X ³ 0

2.      A – выпуклое множество

3.      А замкнуто относительно операции умножения на λ ³ 0 (т.е. А – положительный однородный конус)

 

Определение 3.3 Множеством приемлемых рисков, соответствующим мере риска ρ называется множество

Aρ = {XÎ Ψ:  ρ(X) = 0 }

 

Определение 3.4 Мерой риска, соответствующей множеству приемлемых рисков А называется мера

ρА(X) = inf{ ||X-X’||:  X’ÎA}

 

В [2] доказываются следующие утверждения:

 

Предложение 3.1 Если множество B удовлетворяет аксиомам из определения 3.2, то соответствующая ему мера риска ρВ из определения 3.4 является обобщенной когерентной мерой риска. Более того,

 

Предложение 3.2 Если мера риска ρ – обобщенная когерентная мера риска, то соответствующее ей множество приемлемых рисков Aρ замкнуто и удовлетворяет аксиомам из определения 3.2. Более того,

 

4 Необходимость модификации когерентных и обобщенных когерентных мер

Введем обозначения: значение когерентной меры риска  - w(X), обобщенной когерентной меры  - ρ(Х). Используя обобщенную когерентную меру зачастую можно уменьшить затраты, связанные со «страхованием» портфеля с риском Х в том случае, если можно подобрать какой-либо актив, цена которого ρ(Х) меньше w(X), а при добавлении этого актива риск портфеля становится приемлемым.

 

Однако назвать обобщенные когерентные меры обобщением когерентных мер все же нельзя. Это легко доказать, если предположить, что вливание капитала – оптимальный способ уменьшить риск портфеля так, чтобы он стал приемлемым. Аксиома кратчайшего пути при этом не вырождается в аксиому инвариантности относительно сдвига.

 

Кроме того, обобщенная когерентная мера  в отличие от когерентной меры не оценивает «степень выгодности» портфеля, который является приемлемым, т.е. мы не можем сравнить выгодность двух приемлемых для регулятора портфелей.

 

В связи с этим, цель данной работы – модифицировать когерентные меры риска так, чтобы сохранить возможность оценки риска для приемлемых портфелей и добавить возможность уменьшать риск с помощью изменения структуры портфеля, а не с помощью денежного вливания.

 

Можно попробовать это сделать, если значение меры риска рассматривать не как кратчайшее расстояние от  портфеля до множества приемлемых рисков, а как расстояние до границы этого множества.

 

5 Модификация когерентных мер риска

Возьмем те же аксиомы множеств приемлемых рисков, что и у ADEH (А1-А4).

Определение  Мерой риска, соответствующей множеству приемлемых рисков А называется мера

Примечание Пока в качестве нормы возьем евклидову норму для n-мерного пространства.

Определение Множеством приемлемых рисков, соответствующих мере риска ρ называется множество

Aρ={XÎ Ψ  | ρ(X) £ 0}.

 

Пусть  

 

Для любого XÎΨ существует портфель X*ÎHρ такой, что X* - точка находящаяся на кратчайшем расстоянии от Х до множества Hρ.

 

Определим точку d(Z) как точку на границе множества А, такую что расстояние от точки Z до нее является минимальным расстоянием от точки Z до границы множества А

Множество всех таких точек, соответствующих точке Z обозначим D(Z). D(Z)={d(Z)}.

Определим еще одно множество: Z Ì A: Z = {Z: |D(Z)|>1}. Заметим, что 0ÎZ.

Т.к. множество А  выпукло, то для любой точки XÎΨ существует z(X) Î Z : z(X)=mu+X, m ³ 0.

Обозначим Z*(X)=inf z(X).

 

Свойство кратчайшего пути

" λÎR: -¥ £ λ £ ||Z*-X||    ρ(X+λu)=ρ(X)-λ

 

Определение Мера риска, обладающая свойством кратчайшего пути, субаддитивности, монотонности, положительной однородности и значимости называется модифицированной когерентной мерой риска.

 

Утверждение 5.1.

Пусть множество B удовлетворяет аксиомам А1-А4, тогда  соответствующая ему мера риска ρB – модифицированная когерентная мера риска. Более того,

 

Доказательство:

 

Свойство кратчайшего пути

1.      Пусть XÎBc. Так как B – замкнутое выпуклое множество, а Х – точка вне этого множества, то на границе B существует единственная точка X*, такая что ||X-X*||  - минимальное расстояние от Х до B.

      Пусть ХÎB, XÏZ.  Тогда на границе B также существует единственная точка X*, такая что ||X-X*||  - минимальное расстояние от Х до B.

      Пусть u – единичный направляющий вектор, заданный как указано выше. Т.к. B – выпуклое множество, то $ λ > 0: X+λu ÎZ, т.е. для каждого X Î Ψ $ Z*(X).

      Для λ: -¥ < λ £ ||Z*(X)-X||  X+λu – точка вдоль линии минимального расстояния до границы множества B.

 

2.   Пусть  ХÎB, 0 £ λ £ || Z*(X)-X ||

ρb(X+λu) = -||X+λu-X*||= -||X-X*||-||λu||= -||X-X*|| - λ = ρB(X)-λ

    XÎA, ρB(X) £ λ < 0

                 ρB(X+λu)= -||X+λu-X*||=-||X-X*||+||λu||=-||X-X*||-λ=ρB(X)-λ   

          XÎB, -¥ < λ < ρb(X)

                       ρB(X+λu)=||X+λu-X*||=-||X-X*||+||λu||=-||X-X*||-λ=ρB(X)-λ             

Пусть XÎBc,  ρB(Х) £ λ £ ||Z*(X)-X||

ρB(X+λu)=-||X+λu-X*||=||X-X*||-||λu||=||X-X*||-λ=ρB(X)-λ

            XÎBc, 0 £ λ < ρB(X)

                        ρB(X+λu)=||X+λu-X*||=||X-X*||-||λu||=||X-X*||-λ=ρB(X)-λ

            XÎBc, -¥ < λ < 0

                        ρB(X+λu)=||X+λu-X*||=||X-X*||+||λu||=||X-X*||-λ=ρB(X)-λ

 

       Таким образом, свойство кратчайшего пути выполняется

 

Субаддитивность

1.      Пусть XÎBc, YÎBc,  (X+Y)ÎB.Тогда ρB(Х) > 0, ρB(Y) > 0, а ρB(X+Y) £ 0. Соответственно, ρB(X+Y) < ρB(X)+ρB(Y).

 

2.      Пусть XÎBc, YÎBc, (X+Y)ÎBc, а X* и Y* соответственно ближайшие портфели на B.

ρB(X)=||X-X*||

ρB(Y)=||Y-Y*||

            Рассмотрим портфель (X+Y). Соответствующий ему ближайший приемлемый риск обозначим (X+Y)*.

            Заметим, что т.к. множество B – выпуклое, то X*+Y*ÎB.

            Таким образом,

          ||X+Y-(X+Y)*|| £ ||X+Y-(X*+Y*)||

ρB(X+Y) £ ||X-X*+Y-Y*|| £ ||X-X*||+||Y-Y*||=ρB(X)+ρB(Y)

 

3.      Пусть XÎB, YÎB, тогда X+YÎB

В данной работе ограничимся доказательством для двумерного случая. Доказательство проведем геометрически

Рис.1.

Из рис.1 видно, что

c=a+e

e=d×sin α

b=d×sinβ

Т.к. α ³ β, то sin α ³ sin β, а значит, e ³ b.

Таким образом, c ³ a+b

Получаем, что ||X+Y-(X+Y)*|| ³ ||X-X*||+||Y-Y*||, отсюда ρB(X+Y) £ ρB(X)+ρB(Y)

 

4.      Пусть XÎB, YÎBc, X+YÎB

Доказательство также проведем геометрически для двумерного случая. Возможные случаи расположения точки Y по отношению к множеству B  показаны на рис. 2

 

 

Рис.2.

       Проведем доказательство для случая YÎC (см. рис 3)

Рис. 3

            a+c=d×sin α

            b=d sin β

            sin α ³ sin β, т.к. b – кратчайшее расстояние от Х до Hρ.

            Значит, a+c ³ b

            ρB(Y) – ρB(X+Y) ³ - ρ(X)

            ρB(X+Y) £ ρB(X) + ρB(Y)

            Аналогично проводим доказательство для остальных случаев.

 

  1. Пусть XÎB, YÎBc, X+Y ÎBc.

Рассуждая, как в пунктах 3 и 4, можно доказать утверждение для двумерного случая.

 

Монотонность

Т.к. X £ Y, то Y – X ³ 0, значит по аксиоме А1 Y – X ÎA, и следовательно, ρB(Y - X) £ 0.

Y = X + Y – X. По аксиоме субаддитивности ρB(Y) £ ρB(X)+ρB(Y-X).

Т.к. ρИ(Y-X) £ 0, то ρB(Y) £ ρB(X).

 

Положительная однородность

Пусть X Î B (Bc). Тогда  λX Î B (Bc)

Пусть X*ÎHρ – оптимальная точка на границе, соответствующая X, (λX)*ÎHρ – точка, соответствующая λX

Ясно, что λX*ÎHρ

λρB(X) = λ ||X-X*|| = ||λX – λX*|| ³ ρB(λX)

так как λX*ÎHρ , но не обязательно является оптимальным элементом с точки зрения минимизации расстояния от λX до Hρ.

C другой стороны,

ρB(λX) = ||λX - (λX)*|| = λ ||X-(λX)*/λ|| ³ λρB (X)

так как (λX*)/λ  - элемент Hρ, но не обязательно оптимальный с точки зрения минимизации расстояния от X до Hρ.

Таким образом, ρИ(λX) ³ λρB(X), ρB(λX) £ λρB(X).

Значит, ρB(λX)=λρB(X)

 

Значимость

Предположим обратное – пусть ρB(X) £ 0, т.е. ХÎB.

Но XÎL- -, а по аксиоме А2 А пересекает множество L- - - противоречие.

Таким образом, ρB(Х) > 0

 

Равенство множеств и B

Пусть X Î B, тогда ρB(Х) £ 0, значит XÎ.

Для доказательства замкнутости  используем следующее известное утверждение:

Если E – ограниченное замкнутое множество E Ì En, f – непрерывное отображение E в Em. Тогда f(E) также ограниченное замкнутое множество.

Из субаддитивности и положительной однородности, следует, что ρB(X) – выпуклая (и следовательно непрерывная) функция, значит, =={X: ρ(X) £ 0} – замкнутый положительно однородный конус.

Таким образом, .

 

5.2. Утверждение 5.2.

Если мера риска ρ – модифицированная когерентная мера риска, то соответствующее ей множество приемлемых рисков Aρ замкнуто и удовлетворяет аксиомам А1-А4. Более того, ρ =.

Доказательство:

 

  1. Из того, что ρ обладает свойствами субаддитивности и положительной однородности, следует, что выполняются аксиомы А3, А4
  2. Т.к. выполняется свойство положительной однородности, то ρ(0)=0. Из того, что ρ монотонна, следует, что Aρ содержит множество L+.т.е. выполняется аксиома А1.
  3. Предположим, что XÎL- - и XÎAρ, т.е. ρ(Х) £ 0.

Допустим, что ρ(X) < 0. Тогда из свойства монотонности получаем, что ρ(0) < 0 –противоречие.

Допустим, что ρ(Х) = 0. Тогда $ α: 0 < α < ||Z*(X)-X|| X+αu ÎL- -. По свойству кратчайшего пути ρ(X+αu)=ρ(X) – α.

Т.к. ρ – выпуклая функция, то ρ(X+αu) ¹ ρ(X). Т.к. ρ(X+αu) не может быть меньше нуля (как следует из доказанного выше) и ρ(X+αu) ¹ 0,то ρ(X+αu) > 0, отсюда –α > 0 –противоречие

Значит, L- -не пересекает множество Aρ. Выполняется аксиома А2

  1. Докажем равенство ρ =.

Для любого Х $ δ: . Следовательно, X+δu Î Aρ. Значит, ρ(X+δu) £ 0, отсюда ρ(Х) £ δ. Получаем, что ρ(Х) £ (Х).

Значит, ρ(Х) £ .

Для любого X $ δ : δ > ρ(X). Следовательно, ρ(X+δu) < 0. Значит, X+δu ÎAρ. Отсюда, .

Значит, £ ρ.

Таким образом, ρ =.

 

6 Заключение

В данной работе рассмотрены основные свойства когерентных и обобщенных когерентных мер риска, объяснена необходимость модификации этих мер.

Предложена модификация когерентных мер, позволяющая, с одной стороны, оценить риск для приемлемых портфелей и, с другой стороны,  добавляющая возможность уменьшать риск с помощью изменения структуры портфеля, а не с помощью денежного вливания.

Доказаны утверждения о взаимосвязи аксиом множеств приемлемых рисков и свойств модифицированной когерентной меры. Свойство субаддитивности доказано для двумерного случая.

В дальнейшем планируется доказать свойство субаддитивности для n-мерного случая и из свойств когерентных мер сформировать аксиоматику модифицированных когерентных мер.

 

7 Список использованной литературы

  1. Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. Coherent measures of risk. http://www.math.ethz.ch/delbaen/ftp/preprints/CoherentMF.pdf
  2. Jarrow R.A. , Purnanandam A.K. Generalized Coherent Risk Measures: The Firm’s perspective. 2002.