Постановка задачи

Задача эффективного управления экспериментами имеет вид (см. [1], [2]):

          (1)

- команды (1 - на поиск очередной эффективной стратегии; 2 - на систему управления экспериментами в соответствии с ; 3 - на объект экспериментирования; 4 - на прекращение экспериментов); - каналы передачи информации (информационные каналы).
Рис. 1. Система управления экспериментами.

В работе [1] для решения задачи (1) была использована функция аналогично тому, как это было сделано в классической теории при поиске оптимальных статических планов экспериментов (см. [4]- [6]). Задача (1) отличается от задачи классического планирования экспериментов тем, что матрица зависит как от стратегии , так и от будущих результатов наблюдений в точках спектра этой стратегии. Точнее, она зависит от оценок дисперсий , которые являются неизвестными. Таким образом, задача (1) является задачей с неопределенностью. Как следствие этого, нужно предложить некоторые приёмы (в общем случае - эвристические) по снятию этой неопределённости.

Как предлагается в работе [1], можно сделать предположение о том, что , , - j-ая точка спектра плана . Тогда точку спектра плана , в которой необходимо проводить новый (следующий) эксперимент (т.е. точку спектра стратегии ), можно найти, оценив градиент: , , . При этом полагаем, что . Вид функции зависит от вида критерия .

Покажем, каким образом можно получить выражения градиентов для некоторых наиболее часто используемых на практике критериев эффективности.

Эффективное управление экспериментом. В этом случае
, . Тогда и , . В Табл. 1 приведены выражения частных производных и функций для некоторых критериев эффективности при решении задач эффективного управления экспериментами с учетом апостериорной информации.

Таблица 1.

№ п.п	Критерий эффективности
1	D- критерий,
2	A- критерий,
2	- критерий,

Рассмотрим алгоритмы построения стратегий и проиллюстрируем работу этих алгоритмов на тестовых примерах. Основой рассматриваемых ниже алгоритмов будут служить как модификации известных классических алгоритмов, распространенных на задачи вида (1), так и вновь разработанные и исследованные. Напомним, что по сравнению с классическим оптимальным планом эксперимента (см., например, [6] и многие другие работы) эффективная стратегия не может быть построена только по априорным данным. Она синтезируется на рекуррентной основе, в одной цепочке (последовательно) с выполняемыми экспериментами. Это значит, что, во-первых, такие стратегии не могут быть затабулированы, как это сделано, например, для классических оптимальных планов (см. [3] и многие другие работы). И, во-вторых, даже при условии, что базисный вектор модели известен точно и соблюдается условие постоянства дисперсии ошибок измерений во всех точках области экспериментирования X, задача синтеза эффективной стратегии имеет бесконечное множество решений.

Итак, основная сложность, которая возникает при решении задачи (2.18) и (2.19) состоит в том, что оценки известны лишь в точках спектра стратегии , т.е. в точках множества , образованного спектром стратегии . В других точках области экспериментирования эти оценки не известны. В связи с этим, очень важным моментом в алгоритмах построения эффективных стратегий является удачный выбор точек спектра начальной стратегии.

Каждая стратегия зависит от результатов еще не проведенных экспериментов и, поэтому, является случайной реализацией некоторой случайной величины из бесконечного множества таких реализаций.

Суть этого алгоритма состоит в том, что эксперименты на фиксированном спектре стратегии будут выполняться каждый раз так, что на очередном шаге добавляется в точности одно наблюдение в каждой точке спектра. Таким образом, в конце каждого шага алгоритма количество экспериментов, проведенных в каждой точке спектра стратегии, одинаково. Такая схема проведения экспериментов находит применение в медицине, биологии, химии и других областях науки и техники, в которых в связи с особенностями экспериментов выгоднее (дешевле, экономичнее) организовать и запустить серию экспериментов одновременно. В связи с отмеченной особенностью данного алгоритма, стратегию эксперимента удобно представить следующим образом:
, . Здесь - стратегия экспериментирования на i- ом шаге, , , ... - фиксированные точки спектра, - общее количество экспериментов, которые были (или будут) выполнены на шаге с номером i. Стратегия будет отличаться от стратегии тем, что в ней , .
Представим данный алгоритм в виде последовательности шагов. Рассмотрим, без умаления общности, работу алгоритма на примере построения Ф- эффективных стратегий.

Шаг 1. Выбирается пороговое значение для верхней границы критерия эффективности от апостериорной дисперсионной матрицы оценок параметров модели.
Шаг 2. Фиксируются точки спектра , , ..., начальной стратегии (т.е. стратегии для =0) в области (в области экспериментирования). Количество точек спектра и их общее расположение должно быть таким, чтобы была возможность оценить параметры регрессионной модели (стратегия должна быть невырожденной для данной регрессионной модели). Например, в качестве можно выбрать стратегию со спектром классического -оптимального плана и положить .
Шаг 3. Если выполняется неравенство , то в соответствии со стратегией проводятся эксперименты на объекте, иначе переходим на
Шаг 4. На основе полученных данных оцениваются параметры регрессионной модели, затем находится значение критерия .
Шаг 5. Если , то строится новая стратегия , для которой , значение увеличивается на единицу ( ) и осуществляется переход на Шаг 3, иначе - на Шаг 6.
Шаг 6. Конец работы алгоритма AUE(FS).

Этот алгоритм является модификацией предыдущего алгоритма и работает следующим образом. Эксперименты проводятся тоже последовательно, но на каждом шаге добавляется только одно наблюдение в одной из точек спектра. Таким образом, в конце каждого шага алгоритма количество экспериментов в каждой точке спектра может быть неодинаковым.

Запишем работу алгоритма AWE(FS) по шагам. Алгоритм AWE(FS) отличается от AUE(FS) только Шагом 5. В данном случае этот шаг будет выглядеть так:

Шаг 5. Если , то строится новая стратегия , для которой определяется точка спектра плана , в которой достигается максимум функции . Для этой точки значение увеличивается на единицу ( и ). Строится стратегия , значение увеличивается на единицу и для осуществляется переход на Шаг 3, иначе (если ) - на Шаг 6 (конец работы алгоритма AWE(FS)).

Пример.
Рассмотрим работу алгоритма AWE(FS) при решении задачи синтеза D- эффективной стратегий экспериментирования. Пусть , , . В качестве начальной стратегии выберем стратегию (она является D-оптимальным классическим планом). В Табл. 2 приведены результаты решения задачи синтеза эффективных стратегий экспериментирования и их характеристики.

			Стратегия для AWE(FS)
12	2.2267	{1.30 1.27 1.05 1.69} {5.10 4.94 3.85 8.02} {0.25 0.25 0.27 0.21}
13	1.7466	{1.28 1.26 0.83 1.65} {5.10 4.94 3.85 8.02} {0.25 0.25 0.21 0.20}
14	1.3128	{1.25 0.94 0.82 1.57} {5.10 4.60 3.85 8.02} {0.24 0.20 0.21 0.19}
15	0.8551	{0.81 0.92 0.80 1.43} {3.94 4.60 3.85 8.02} {0.20 0.20 0.20 0.17}
16	0.6500	{0.80 0.91 0.61 1.37} {3.94 4.60 3.49 8.02} {0.20 0.19 0.17 0.17}

Заметим, что, как было отмечено выше, значения критерия уменьшаются немонотонно. Кроме этого, можно отметить, что многочисленные модельные просчеты показали, что в общем случае веса эффективных стратегий могут очень сильно отличаться от "равномерного" распределения, которое рекомендует для этой модели классический D- оптимальный план экспериментов. На Рис. 2 показан график изменения значения критерия эффективности в зависимости от общего количества проведенных экспериментов для рассмотренного примера и алгоритма AWE(FS). Можно заметить, что процесс сходимости критерия не является монотонным.

Рис. 2. Зависимость критерия эффективности от общего количества экспериментов N.

Характер такой немонотонности работы алгоритма AWE(FS) можно оценить по поведению пяти траекторий изменения критерия эффективности, представленных на Рис. 3.

Рис. 3. Пять траекторий поведения критерия в зависимости от общего количества проведенных экспериментов N.

Рассмотренные алгоритмы апробированы и реализованы в программной среде MATLAB, тексты многих из разработанных программ можно посмотреть на странице www.fb.nstu.ru/~experiment. Там также представлены программы (алгоритмы и тексты программ), иллюстрирующие "неэффективность" оптимальных классических планов экспериментов; неинвариантность таких планов относительно преобразований области экспериментирования; сравнение оптимальных планов и эффективных стратегий; асимптотические свойства дисперсионной матрицы оценок параметров; методы построения эффективных стратегий экспериментов (новый подход), уточнение оценок параметров с использованием bootstrep-метода и многое другое. Очевидным образом алгоритмы и соответствующие им программы обобщаются на многомерный случай и более общие постановки задач.

Алгоритмы эффективного экспериментирования реализованы также с использованием Web-технологий. Реализована программа на основе JAVA- апплетов (java-applet) и Java- сервлетов (java-servlet), использующая СУБД на основе SQL. Для работы с программой пользователю необходим браузер, поддерживающий JAVA-апплеты (и JavaScript). Схема программного комплекса представлена на Рис 4.

Рис. 4. Схема программного комплекса.

Программа состоит из двух основных модулей:
1) модуля ввода исходной информации о модели, факторах и синтеза начальной стратегии экспериментов;
2) модуль непосредственно синтеза эффективных стратегий экспериментирования на последующих шагах.
Экспериментатор заходит на сайт по адресу www.fb.nstu.ru/~experiment и выбирает ссылку "Новый эксперимент". Далее он указывает информацию о входных факторах исследуемой системы, выбирает модель и критерий эффективности, после этого рассчитывается начальная стратегия, в соответствии с которой следует провести начальные эксперименты (наблюдения за объектом). Все данные сохраняются в Базе Данных Экспериментов. Ввод результатов экспериментов (наблюдений) и расчёт последующих стратегий производятся в модуле Управление экспериментом. Здесь пользователь вносит информацию о результатах наблюдений над объектом. Затем рассчитывается следующая точка (или точки) стратегии экспериментирования (проведения наблюдений), формируется новая стратегия и рассчитывается уровень максимальной дисперсии (и другие характеристики стратегии экспериментирования и построенной оценки модели).

Оптимальные планы экспериментов, построенные для априорных предположений об ошибке наблюдений, с точки зрения апостериорной информации о ней в общем случае таковыми могут не являться. В частности, именно поэтому для них в общем случае может не выполниться утверждение теоремы эквивалентности и оптимальности, если перейти от априорных значений дисперсий к апостериорным. Таким образом, можно констатировать, что оптимальных (в классическом понимании) планов экспериментов не существует и такие планы, в принципе, не могут быть построены до проведения экспериментов (априори) (см. [3]). Если бы у экспериментатора была возможность повторить процедуру экспериментирования сначала, то получилась бы, в общем случае, другая (новая, отличная от проделанной первоначально, до этого) последовательность экспериментов и соответствующих им наилучших (в смысле снимаемой с объекта информации, т.е. наиболее информационно емких) условий экспериментирования. Таким образом, оптимальной процедуры экспериментирования (оптимального плана экспериментов), который можно было бы синтезировать до начала проведения экспериментов, в общем случае, не существует. В соответствии с этим, заранее не известна и оптимальная последовательность шагов экспериментирования, общее число экспериментов, общие затраты на экспериментирование, которые потребуются для достижения заданных пороговых значений для точностных характеристик оценок модели регрессии и т.д. Остается лишь на каждом шаге экспериментирования пытаться достичь наилучших изменений этих характеристик, при этом до проведения экспериментов мы не уверены в том, будут ли эти шаги действительно лучшими, не говоря уже об общей их оптимальности, что предполагается при построении планов экспериментов в рамках классической теории планирования экспериментов.

1. Наумов А.А., Сенич В.В. Эффективное управление экспериментом. - Новосибирск: ОФСЕТ.- 2003.
2. Naumov A.A. Experiments Design Investigation: The Model II // Информатика и проблемы телекоммуникаций: Тез. докл. Международной научно-технической конференции. - Новосибирск: Изд-во СИБГУТИ, 2002. - С. 114- 116.
3. Бродский В.З. и др.Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей. - М.: Металлургия.- 1982. - 752 с.
4. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ- экспериментатор. - М.: Наука.- 1977.
5. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования экспериментов.- М.: Финансы и статистика.- 1986.
6. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. - М.: Наука, 1971.