Бойков Д.В.
Красноярский Государственный Технический Университет.
e-mail: dimkadim@yandex.ru sigma-cfd@torins.ru
The algorithm of the decision of tasks of hydrodynamics of multi-component streams in hydraulic circuits with chemical reaction was submitted.
1. Введение.
Практически на каждом крупном предприятии можно встретить те или иные системы, представимые в виде гидравлических сетей. Причем от правильного функционирования этих систем могут зависеть технико-экономические и экологические показатели всего производства в целом. Наиболее распространенными вариантами таких систем являются системы вентиляции и аспирации. При этом в данных сетях могут находиться неизотермические многокомпонентные потоки, происходить процессы химического реагирования и осаждения пыли.
Как пример такой системы можно представить систему подкорпусных газоходов электролизного цеха ОАО КРАЗ, в которой производит смешение электролизного газа с воздухом, его сжигание и удаление продуктов сгорания со всех электролизных ванн цеха. Неправильная работа данной системы может повлечь за собой выброс электролизных газов с большим содержанием CO в цех. Очевидно, что для анализа таких систем необходимо учесть многокомпонентность, неизотермичность и происходящие в сетях процессы в задаче потокораспределения в гидравлической цепи.
2. Математическая постановка задачи.
Гидравлическая сеть может быть представлена в виде ориентированного графа, состоящего из двух подмножеств: множества узлов 
и множества ветвей (труб) 
. При этом каждой ветви ставится в отношении пара узлов, один из которых является начальным, а второй конечный для данной ветви. Обозначим 
- подмножеством ветвей, начинающихся в i-том узле, а 
подмножеством ветвей, заканчивающихся в i-том узле.
Объединение множеств 
, для любого 
, обозначает множество входящих или исходящих ветвей данного узла. Эти множества обязаны быть непустыми. Пересечение множеств 
, для пары узлов 
выделяет из всего множества ветвей подмножество ветвей, связывающих между собой данные узлы.
Приведенное описание ориентированного графа служит основой для рассмотрения процессов потокораспределения на графе. В общем случае переносимая субстанция должна быть охарактеризована величиной 
- потоком на данной ветви. Значения 
соответствуют направлению потока, которое совпадает с ориентацией ветви графа. При 
поток противоположен ориентации ветви. Для произвольного, заданного потока 
на графе вводится естественная ориентация ветвей, соответствующая потоку: 
и 
.
Используя вышесказанное, вводится формула:
(1)
Эта формула в теории графов называется матрицей связей узлов и ветвей ориентированного графа.
Так же была предложена матрица для потока в ориентированном графе:
(2)
Задачу распределения многокомпонентного потока в сети можно свести к комбинации задач распределения несущего потока диффузией и сноса свойств вещества по несущему потоку для вычисления концентраций компонент и температуры.
2.2.1 Задача потокотораспределения несущего потока.
Используя матрицу связей задачу потокораспределения несущего потока в сети можно представить в виде системы уравнений:
(3)
(4)
Здесь 
– вычисляемый несущий поток на ветви, 
– источник в узле, 
– потенциал в узле, а 
– нелинейный закон падения потенциала на ветви. Уравнение (3) представляет собой закон сохранения потока в узле. Уравнение (4) описывает падение потенциала на ветви как нелинейную функцию от расхода в этой ветви, в частности, для гидравлических сетей это уравнение Дарси-Вейсбаха.
Предложенный ниже метод является развитием метода созданного Елгиным Борисом Александровичем.
Зададимся начальным приближением по давлению и по уравнению (4) определим начальное приближение по расходу. Будем искать новые значения давления и расходов в виде:
, (5)
После некоторых преобразований можно получить систему линейных уравнений на поправку давления 
:
(6)
где 
– множество неатмосферных узлов сети, 
– элементы матрицы максвелла, равные:
(7)
Таким образом, решение задачи потокораспределения диффузией сводится к нелинейному итерационному циклу, на каждой итерации которого необходимо решить систему линейных уравнений (6). Эта система уравнений обладает диагональной симметрией и слабым диагональным преобладанием. Наиболее эффективным для данной системы линейных уравнений оказался метод сопряженных градиентов.
Для вычисления концентраций компонент и температуры в участках сети была использована модель переноса по потоку:
(8)
(9)
Здесь 
- некая функция состояния узла, 
- несущий поток. Уравнение (8) представляет собой закон сохранения для компоненты или для характеристики потока, а уравнение (9) снос компоненты или характеристики несущим потоком.
Причем нужно отметить, что функции состояния в общем случае влияют на свойства несущего потока, например на его плотность.
Для решения задачи потокораспределения по потоку мной была предложена следующая система линейных уравнений:
(10)
Здесь 
- источник несущего потока. Она описывает сток несущего потока именно с теми свойствами, с которыми поток проходит через узел, что в рамках большинства вентиляционных задач выглядит вполне логичным. К сожалению, данная система не обладает диагональной симметрией, что делает невозможным применение метода сопряженных градиентов для ее решения.
Химические реакции, происходящие в сети можно условно поделить на две группы: Это быстрые реакции, время протекания которых существенно меньше характерного времени протекания потока в сети и медленные реакции, в которых эти времена сопоставимы.
Быстрые реакции можно описать как реакции, происходящие в узлах. Используя формулу (11) можно вычислить величину расходов всех компонент протекающих сквозь узел.
(11)
Зная эти расходы можно вычислить количество прореагировавших компонент, образовавшихся продуктов реакции и выделившееся тепло. Для передачи этих параметров в сеть можно использовать два подхода. Первый, рассматривать реакцию как источник для компонент, существующий в узле:
(12)
здесь qi_not_mass – источник соответствующей компоненты, образовавшийся в результате химической реакции, 
– расходы компонент смеси протекающие через узел с химическим реагированием, 
– источник несущего потока, образовавшийся в результате химической реакции. Такой подход применим в том случае, когда реакция не приводит к стоку несущего потока в результате химической реакции. Такое правило будет соблюдаться для реакций содержащих только газовые продукты реакции. В том случае, если это правило не соблюдается, можно использовать отдельный расчет свойств узла с химическим реагированием:
(13)
Недостатком этого метода является худшая сходимость сетевой задачи и возможность считать химическое реагирование в ограниченном числе узлов.
При расчете медленных реакций используется подход источников компонент в результате химической реакции, с той разницей, что реакция происходит непосредственно в ветвях, и там же размещаются источники, связанные с ней.
3. Решаемые задачи.
Представленный алгоритм был реализован в программе 
. В настоящее время программа применяется для расчета систем вентиляции.
Рис. 1 Внешний вид программы 
Из рассмотренных задач можно выделить задачу по расчету установки по закалке алюминиевых плит «Эбнер». Данная установка содержала сеть, осуществляющую раздачу воды по форсункам и имела подводящие рампы – трубы диаметром 250мм, от которых с шагом в 115мм отходили форсуночные трубки диаметра 23мм и длинной около метра. Число форсунок в тестовых расчетах варьировалось от двухсот до нескольких тысяч. Для форсунок задавалась расходная характеристика, зависимость расхода от давления. Основной сложностью этой задачи было наличие труб, отношение длинны к диаметру которых различалось на несколько порядков (участки рампы между форсуночными трубками и сами форсуночные трубки). Это приводит к формированию расчетной матрицы Максвелла для системы уравнений (6) с таким же различием в порядке ненулевых элементов. Была показана хорошая сходимость метода для данной задачи при использовании метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений.
Также она использовалась для моделирования систем подкорпусных газоходов Электролизных цехов ОАО «КРАЗ». Данная система представляет собой систему газоходов, в которой осуществляется сжигание электролизных газов в горелках, расположенных рядом с электролизерами сбор и удаление продуктов сгорания из бригады состоящей из 20 – 26 электролизных ванн размещенных в два ряда.
Рис.2 Первая бригада 19 корпуса
При этом возникала проблема, вследствие неравномерности уровень разрежения в горелках центральных и дальних электролизных ванн различался примерно на порядок. Это приводило к сбиванию пламени на центральных горелках и выбросу электролизных газов в цех из крайних горелок. Для выравнивания давления в бригаде было предложено использовать регулирующие сопротивления. В результате расчетов было установлено, что используемая модель достаточно хорошо совпадает с экспериментальными данными, были вычислены необходимые величины сопротивлений.
Л и т е р а т у р а