ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ

Ю.Н. Захаров, К.С. Иванов

Кемеровский Государственный Университет

Рассмотрим в области G нестационарную систему уравнений Навье-Стокса, описывающую плоское движение вязкой однородной несжимаемой жидкости. В большинстве случаев ввиду сложности решения исходной системы уравнений данную задачу записывают в переменных функция тока - вихрь и на каждом шаге по времени решают сначала линеаризованное уравнение переноса вихря для , затем уравнение Пуассона для функции тока [1]. Преимуществом такой постановки задачи является относительная простота реализации численного алгоритма. Однако такому подходу присущи и существенные недостатки: во-первых, на каждом временном шаге приходится решать два уравнения, одним из которых является уравнение Пуассона; во-вторых, возникают проблемы, связанные с постановкой краевых условий для вихря . Решению этих проблем посвящено достаточно большое количество литературы (см., например, обзор в [3]).

Менее популярными являются методы решения системы уравнений Навье-Стокса, записанной только относительно функции тока . Преимуществом такого подхода является отсутствие каких-либо существенных проблем постановки краевых условий для функции тока . Однако в этом случае на каждом дискретном временном шаге появляются трудности решения системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

В настоящем докладе предлагается реализовать численный алгоритм решения нестационарной системы уравнений Навье-Стокса плоского движения вязкой однородной несжимаемой жидкости в области G, записанной только относительно функции тока .

Исходная дифференциальная задача в такой постановке имеет вид:

, (1)

начальные условия

, (2)

краевые условия

, (3)

. (4)

Введем в области G равномерную по t и неравномерную по x,y, согласованную с границей сетку . Аппроксимируя задачу (1) -(4) на сетке некоторой разностной схемой, получим разностную задачу:

, (5)

где разностный оператор является либо нелинейным, либо линейным в зависимости от способа аппроксимации конвективных слагаемых.

Разностную задачу (5) для каждого момента времени можно записать как систему нелинейных алгебраических уравнений вида:

, (6)

где u, f – векторы размерности m, , - линейный оператор, -

билинейное отображение (тождественно равное нулю, в случае линеаризованной разностной

схемы). Свойство билинейности оператора означает:

- векторы размерности m, - произвольные постоянные, i=1,2. (7)

Для решения системы (6) построим итерационный процесс:

, (8)

, n=1,2,… (9)

где- заданная матрица с элементами, зависящими от , - некоторый вектор размерности

m, - произвольное начальное приближение из области определения оператора А, -

итерационные параметры.

Пусть - квадратная матрица с m ненулевыми элементами , i , j =1..m, k -

произвольное целое число от 1 до m. Перепишем (9) в виде:

, p , j = 1,2…m, (10)

где , , - вектор с одной ненулевой

- ой компонентой.

Введем обозначение:

, i=1,2…m. (11)

Очевидно, что и - невязки схемы (9).

Переписывая (10) из относительно нормы невязки и выбирая из условия минимума

(см. [4]), можно получить:

, i=1,2,…m, n=1,2… (12)

В приведенном алгоритме элементы матрицы выбирались последовательно, исходя из условия минимума соответствующей невязки. В ряде случаев удается использовать не последовательную, а многопараметрическую оптимизацию, что существенно ускоряет процесс сходимости схемы (8), (9). Можно привести некоторые алгоритмы (см. [4]) в качестве примеров многопараметрической оптимизации параметров. Также в случае плохой сходимости схемы (8), (9) для нее аналогично линейному случаю [3] можно построить процедуру ускорения сходимости, основанную на асимптотическом свойстве данной схемы и значительно повышающую ее эффективность [4].

Для проверки эффективности метода решения поставленной задачи были проведены численные расчеты классической модельной задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости в квадратной каверне с неравномерно движущейся верхней крышкой. Жидкость при этом вовлекается в движение силами вязкости. Результаты показали, что система билинейных уравнений, возникающая на каждом дискретном временном шаге после аппроксимации дифференциальной задачи, достаточно эффективно решается предлагаемым методом минимальных невязок.

Приведем один из результатов расчета при следующих параметрах уравнения и разностной схемы:

Re = 400;

L (длина стороны каверны) = 1;

U(t) (скорость движения верхней крышки каверны) = ;