МЕТОД РЕКУРРЕНТНОГО СПЛАЙН-ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТЕПЕНИ 3 ГЛУБИНЫ 1

Шумилов Б.М., Эшаров Э.А.

Томский государственный архитектурно-строительный университет

Томский государственный университет

Пусть измеряемый процесс f(t) регистрируется в равноотстоящие моменты времени t с шагом измерения , причем f(t) допускает адекватное представление в виде сплайна третьей степени на сетке с шагом

где [1]                           .

Тогда измерения  в моменты , на подотрезках  имеют вид [1,2]:

     (1)

Здесь  – независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией :

. С целью прогнозирования в отличие от [3], для нахождения оценок  параметров кубического сплайна будем использовать рекуррентный алгоритм глубины 1, требующий вычисления оценки очередного коэффициента  через известную оценку  с учетом наблюдений, поступивших с (k-2)-го этапа. При этом (k-1)-я группа наблюдений не влияет на значения оценок параметров, вычисленных ранее. Начальные значения  вычисляются, например, по способу наименьших квадратов из значений на начальном этапе . Такой алгоритм можно определить согласно соотношению

     k = 3, 4, … .                          (2)

Теорема 1. Пусть параметры алгоритма (2) удовлетворяют условиям

        (3)

при                                                         |l|<1.                                                        (4)

Тогда оценки  вычисляются устойчивым образом, являются асимптотически при  несмещенными и имеют дисперсию при   

.                                              (5)

Сплайн, построенный в условиях теоремы, обеспечивает точность на многочленах третьей степени.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим условия точности на многочленах третьей степени (см. лемма [4]). В обозначениях леммы имеем

, глубина фильтра p=1.

Тогда для того, чтобы сплайн совпадал тождественно с f(t) для любых f(t) из пространства многочленов степени не выше 3, необходимо и достаточно выполнения равенств

Здесь . Домножим первое равенство на t_k и вычтем из него второе равенство. После некоторых преобразований получим

Аналогично, умножая первое равенство на t_k-1 и, вычитая из него второе, получим равенство

         

Далее будет использовано вытекающее из них равенство

 

Перейдем к третьему равенству системы и приведем подобные при . Получим:

В силу доказанных выше первых двух равенств, выражения в скобках равны нулю. Следовательно,

.

Поделив обе части полученного равенства на m², приходим к третьему из доказываемых условий теоремы 1 (3).

Аналогично, рассматривая четвертое равенство системы, получаем последнее из соотношений (3).

Условия (3) теоремы 1 доказаны. При k = –1, 0, 1, 2 (МНК на начальном отрезке) условия точности на многочленах выполняются автоматически.

Обозначим . Тогда (2) можно переписать в виде

                                                       (6)

Уравнение (6) – линейное однородное разностное уравнение первого порядка.

Выполнение условия (4) (|l| < 1), как известно, обеспечивает устойчивость решения уравнения (6) к влиянию начального условия  [5].

Далее с учетом (3)

или

.                           (7)

Тогда

                     (8)

В выражении (8)  = 0 согласно постановке задачи. Таким образом, выражение (8) принимает окончательный вид

или

.                                             (9)

Так как |l| < 1, то при k® ¥ из (9) получаем , т.е. несмещенность решения  следует из его устойчивости.

Для несмещенных оценок дисперсия . Далее, так как x_i,k-2 по предположению независимы, то величины  и x_i,k-2 также независимы. Тогда из (7) получаем

                           (10)

Уравнение (10) представляет собой неоднородное разностное уравнение первого порядка, и решение его имеет вид [5]:

Тогда при k® ¥ получим (5). Теорема 1 доказана.

Таким образом, получен устойчивый рекуррентный вычислительный процесс оценки параметров  экспериментальной зависимости, представленной в виде сплайна третьей степени.

При m<2 решения не существует, так как количество параметров меньше количества условий теоремы 1. При m=2 точки измерения удобно располагать в узлах сплайна и по одной точке посередине между узлами сплайна. Тогда значения  В результате имеем 4 неизвестных значения λ, α₀, α₁, α₂, для определения которых требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

Детерминант матрицы системы равен –1/8, поэтому существует единственное решение

.

Поскольку значение λ = –3 по модулю >1, полученное решение не удовлетворяет условиям теоремы 1, в том смысле, что устойчивого метода сплайн-прогнозирования по 3-м точкам на каждом интервале не существует.

Следующий вариант – когда точки измерения располагаются в узлах сплайна и еще по 2 точки измерения располагаются равномерно между узлами сплайна. Если для расчета коэффициентов сплайна берутся точки, соответствующие , то для определения 4-х неизвестных значений λ, α₁, α₂, α₃ требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

Детерминант матрицы системы равен 0.132, поэтому единственное решение существует. Однако, поскольку при этом оказывается, что , полученное решение также не удовлетворяет условиям теоремы 1.

Тем не менее, существует вполне приемлемый вариант, соответствующий точкам , в котором для определения неизвестных значений λ, α₀, α₁, α₂ требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

Детерминант матрицы системы равен , поэтому единственное решение существует  и оно полностью удовлетворяет условиям теоремы 1.

Пусть теперь m=3. В результате имеем 5 неизвестных значений λ, α₀, α₁, α₂, α₃, для определения которых требуется решить недоопределенную систему 4-х линейных алгебраических уравнений

Детерминант матрицы системы равен –4/81, поэтому существует общее решение, зависящее от параметра λ,

.

Графики полученных значений коэффициентов в зависимости от λ при |λ|<1 представлены на рис. 1.

Рис. 1.  Графики полученных значений коэффициентов

α₀, α₁, α₂, α₃  в зависимости от λ при |λ|<1.

 

Отметим, что к множеству полученных решений относятся и оба полученных выше решения для случая m=3. В силу неединственности естественно определить такой параметр, который минимизировал бы остаточную дисперсию оценок

,                                                 (11)

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (3) и устойчивости (4). График функции V(λ) представлен на рис. 2. Единственный минимум функции V(λ) достигается при значении λ=0.076, |λ|<1. Соответствующие значения коэффициентов равны .

 

Рис. 2.  Графики зависимости V(λ) при |λ|<1.

 

С использованием полученных выше устойчивых рекуррентных формул сплайн-прогнозирования была проделана серия численных экспериментов по аппроксимации мономов степени, меньшей или равной степени сплайна 3.

1)                 Было установлено, что полученные формулы обеспечивают нулевую погрешность приближения функций f(t)=t^l, l=0,1,2,3. При этом, полученные графики практически не отличаются.

2)                 Были проведены численные эксперименты с зашумленными функциями с нормально распределенной помехой с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией ,=1, 5, 10, 15. На рис. 3 приведен результат для рекуррентного сплайн-прогноза степени 3 глубины 1 для  функции f(t)=t³, =10. Оказалось, что для  свойства точно воспроизводить многочлены достаточно высокой степени выполняются, для  фильтр не может погасить большую погрешность.

 

 

Рис.3. Графики функций: f(t)=t³,  S3(t) – сплайн-прогноза 3-й степени, глубины 1.

 

3)                В последней части эксперимента рассматривалось приближение многочлена степени 4, т.е. большей, чем степень сплайн-прогноза. Результирующая погрешность  носит название моносплайна степени 3+l и в большинстве случаев имеет характерный график. Как известно, моносплайны представляют собой главный член погрешности для приближения достаточно гладких функций. Для l=1,2 результаты приведены на рис. 4.

Рис4. Погрешность S3(x^3+l ,t) - t^3+l для сплайна степени3глубины 1

4)      Для случая зашумленных данных результат аналогичен предыдущему. В частности, для монома 4-й степени результат приведен на рис. 5.

 

 

Рис. 5. Результирующая погрешность  

для сплайна степени 3 глубины 1

 

Таким образом, повышение степени фильтра по сравнению с [3, 4] благоприятно сказывается на погрешности полученных прогнозных значений при условии гладкости аппроксимируемой зависимости.

При m>3 число неизвестных параметров алгоритма (3) значительно больше, чем количество условий теоремы 1. Так как остаточная дисперсия оценок в условиях теоремы 1 при  зависит от параметров самого алгоритма λ, α_i и дисперсии σ², то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

,                                                 (11)

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (3) и устойчивости (4). Решение поставленной задачи выполняется аналогично [6].

Дальнейшее развитие данной схемы состоит в построении прогнозирующих сплайн-фильтров 3-го порядка глубины 2 (аналогично [3]).

 

Литература:

1.   Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976. – 248 с.

2.   Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 352 с.

3.   Ярушкина Н.А., Эшаров Э.А.  Моделирование временных рядов методом рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 2 глубины 2 // Моделирование неравновесных систем-2005: Материалы VIII Всероссийского семинара, Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2005, с. 135-136.

4.   Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия высших учебных заведений. – 1996. – №1. – С. 85-87.

5.   Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967. – 176 с.

6.   Шумилов Б.М., Карлова И.В., Ярушкина Н.А. Рекуррентные и прогнозирующие сплайн-фильтры 1-го и 2-го порядков // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. 1, Новосибирск, изд-во ИВМ и МГСО РАН, 2004, с. 152-157.

e-mail: sbm@tsuab.ru