УДК 621.923

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В МНОГОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ, ОСЛАБЛЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЯМ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ

Р.К.Калбиев

Азербайджанский Архитектурьно-Строительный Университет

elektroset@box.az

Рассмотренная работа посвящена вопросу напряженного состояния многоугольной пластинки, ограниченной снаружи многоугольным контуром а изнутри центрально расположенным отверстием близким к круговому. В работе на основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрены напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Работоспособность деталей машин и елементов конструкций в виде пластин зависит от наличия в них концентратов напряжений типа полостей, щелей, шероховатостей и т.д. Поэтому изучение распределения напряжений и деформаций около таких дефектов представляет теоретический и практический интерес.

В работе на основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрены напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Работа посвящена вопросу напряженного состояния многоугольной пластинки, ограниченной снаружи многоугольным контуром а изнутри центрально расположенным отверстием близким к круговому. Считается, что реальная поверхность детали имеет микро или макроскопические неровности технологического характера, образующие шероховатость.

Исследуем однородную изотропную пластинку, состоящую из двухсвязной области S ограниченной снаружи многоугольным контуром L₁, а изнутри центрально расположенным отверстием близким к круговому L₂ (Рис. 1).

Введем полярную систему координат. Представим границу внутреннего контура L₂ пластинки в следующем виде

ρ(θ)=r₂+δ(θ)

Запишем второе слагаемое в правой части уравнения в следующем виде

δ(θ)=εΗ(θ)

здес ε-малый параметр, равный отношению высоты наибольшего выступа профиля к радиусы отверстия или отношению глубины наибольшей выпадины профиля к радиусу отверстия; Η(θ)-функция, независящая от малого параметра. Компоненты тензора напряжений ищем в виде разложений по малому параметру ε:

σ_r=σ_r⁽⁰⁾+εσ_r⁽¹⁾+…

σ_θ=σ_θ⁽⁰⁾+εσ_θ⁽¹⁾+… (1)

τ_rθ=τ_rθ⁽⁰⁾ +ετ_rθ⁽¹⁾+…

в которых для упрощения задачи пренебрегаем членами, содержащими малый параметр ε в степени выше первой. В соотношениях (1) σ_r⁽⁰⁾, σ_θ⁽⁰⁾ и τ_rθ⁽⁰⁾ - напряжения нулевого приближения, а σ_r⁽¹⁾, σ_θ⁽¹⁾ и τ_rθ⁽¹⁾ -напряжения первого приближения. Каждое из приближений удовлетворяет системе дифференциальных уравнений теории упругости.

При этом на контуры пластинки действуют кусочно-равномерно распределенные нагрузки с интенсивностью Р₁ и Р₂ соответственно под углом 2α₁ и 2α₂ (Рис. 1).

Как известно [1], определение напряженного состояния в данной области приводиться к нахождению двух аналитических функций φ(z) и ψ(z) комплексных переменных, удовлетворяющих определенным граничным условиям:

, , (j=1, 2)

Здесь t - аффикс точек контура L_j; С_j -вещественные постоянные (одну из которых, например С₁, примем равной нулю, а С₂ определяются по ходу решения задачи). примем в виде степенного ряда, т.е.

τ-аффикс точки контура единичной окружности, определяются из условия непрерывности функций на контуре L_j.

Аналитические функции φ(z) и ψ(z) в трехсвязной области S ищем в виде

На основе геометрических и силовых симметрии коэффициенты будут вещественными.

Рис. 1.

Так как контур L₀ отличен от окружности, при решении поставленной задачи будем использовать функции

где ;

а и в соответственно радиусы окружностей, описанных вокруг квадрат и вписанных в многоугольник L₀; q-число осей симметрии (число сторон), q=6.

Знак m определяет форму расположения контура L₀ в плоскости z=х+iу.

Когда m>0, большая ось симметрии кривой совпадает с осью абсцисс, а когда m<0, то малая ось симметрии кривой совпадает с осью абсцисс. Очевидно, что в (4) при m=0 контур L₀ превращается в окружность, а при q=2 в эллипс. При q>2 абсолютное значение m может быть определено по формуле:

и для шестиугольника q=6; ; для квадрата q=4;

После некоторых выкладок и преобразований [2] находят коэффициенты

. После этого по формуле Колосова-Мусхелешвили определяется компоненты напряжений σ_r, σ_θ в точках произвольно взятых центральных сечений пластинки.

Перейдем к решению задачи в первом приближении [2].

Граничные условия этой задачи имеют вид

, , (j=1, 2)

(j=1, 2)

При r=r₂

;

Дальнейший ход решения задачи аналогичен нулевому приближению. Для удобства в первом приближении сохранены обозначения для искомых коэффициентов. Таким образом в первом приближении для определения коэффициентов получены 6 группы бесконечных систем линейно алгебраических уравнений, отличающихся от нулевого (что очень удобно при расчетах на ЭВМ) правой частью системы.

Полученные решение в зависимости от параметров шероховатости, геометрических и силовых факторов можно распространит на решение многочисленных частных задач.

В случае, когда пластинка подвежена наружному давлению при α₀=30⁰, α₀=90⁰, Р₁=Р, Р₂=0, ε=0,04, r₂ ⁄ в =0,5 (Рис. 2) определены компоненты напряжений σ_r, σ_θ в сечении х=0. Граничные условия в характерных точках удовлетворяются достаточно точно.

Нами были рассмотрены следующие конкретные примеры:

α₁=90⁰, Р₁=Р, Р₂=0, ε=0,04, r₂ ⁄ в =0,5, q=6 (Рис. 2, а).

α₁=30⁰, Р₁=Р, Р₂=0, ε=0,04, r₂ ⁄ в =0,5, q=6 (Рис. 2,б).

α₁=90⁰, Р₁=Р, Р₂=0, ε=0,04, r₂ ⁄ в =0,5, q=4 (Рис. 2, в).

а) б)

в)

Рис. 2

Выводы

Результаты численных примеров показывает, что влияние шероховатости сказывается увеличении коэффициентов концентрации напряжений, это влияние имеет место в поверхностном слое не превышающем утроенного размера максимальной впадины или выступа. Отношения кратчайшего расстояния от центра отверстий до наружного контура к радиусу отверстий (в ⁄r₂) имеют существенное влияние на концентрацию напряжений. Когда r₂ ⁄в увеличивается показатели шероховатости ε существенно влияет на концентрации напряжений. Результаты показывают что, с увеличением показатели шероховатости ε концентрация напряжений в начале постепенно а дальнейшем резко увеличивается.

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. -648с.

2. Калбиев Р.К. Исследование напряженного состояние в квадратной пластинке ослабленной двумя круглыми отверстиями с шероховатостью, под действием кусочно-равномерно распределенных контурных нагрузок// Ученые записки №1,2 АзИСУ, Баку, 2000, с. 240-244.

3. Кулиев С.А. Двумерные задачи теории упругости. М.: Стройиздат, 1991. -351с.

Сведения об авторе

Калбиев Рамиз Калби оглы. Доцент кафедры ''Строительные, дорожные и мелиоративные машины'', 1997г. защитиль кандидатский диссертации по специальности 01.02.04 - Механика деформированного твердого тела.

Фамилия		Калбиев
Имя, Отчество		Рамиз Калби оглы
Уч. степень		Кандидат технических наук
Уч. звание		Доцент
Занимаемая должность		Доцент
Краткое название организации,		АзАСУ
Полное название организации,		Азербайджанский Архитектурьно-Строительный Университет
Адрес организации
индекс	Аz1073
город	Баку
адрес	Аз. Рес. г. Баку, ул. А.Султанова, 5
Почтовый (контактный) адрес автора
индекс	Аz1023
город	Баку
адрес	Аз. Рес. г. Баку, ул. А.Исмайылов, т.1, дом 2. кв. 4
Телефоны автора (с кодом города)
дом.	(994-12)491-65-13
служ.	(994-12)439-37-08
мобил.	(994-55)787-29-65
Факс автора (994-12)4987836
E-mail автора
elektroset@box.az
Название статья
Исследование напряженного состояния в многоугольной пластинке, ослабленной центральным круглым отверстиям с шероховатостью