МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУР С МНОЖЕСТВЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ЯМАМИ
ДЛЯ ИК-ФОТОПРИЕМНИКОВ

Ставропольский государственный университет

Акиншина Г.В.

akinshina@stavsu.ru

Фотоприемники и фотоприемные устройства являются важнейшими элементами любой оптико-электронной системы и по существу определяют ее основные характеристики. Одним из наиболее перспективных методов регистрации инфракрасного излучения на сегодняшний день является ИК-детектирование на основе структур с множественными квантовыми ямами (СМКЯ). [1] Разработка математической модели структур с множественными квантовыми ямами для ИК-фотоприемников и стала целью настоящей работы.

В настоящее время для расчета структур с множественными квантовыми ямами используется модель прямоугольных симметричных ям. Однако, анализ многочисленных экспериментальных результатов по структурам с множественными квантовыми ямами, представленных, например, в [2], позволяет сделать предположение, что реальные СМКЯ не являются ни прямоугольными, ни даже симметричными, а форма потенциального профиля СМКЯ полностью определяется технологическими условиями и особенностями роста [3-4]. Такое рассогласование расчетных моделей и реальной формы потенциального профиля ведет к ошибкам при определении энергетического спектра и волновых функций, что, в свою очередь, не позволяет определить с достаточной точностью параметры фотоприемника, построенного на СМКЯ. Кроме того, используемые модели в качестве расчетного метода чаще всего привлекают kp-метод в рамках приближения эффективной массы, не позволяющий в общем случае корректно учитывать пространственную зависимость эффективной массы и атомарную резкость гетероинтерфейсов. Использование такого подхода в ряде случаев может приводить, например, к неточному определению квантовомеханических правил отбора, определяющих коэффициент оптического поглощения и диапазон спектральной чувствительности структуры. [5] Следовательно, разработка корректной математической модели структур с МКЯ требует уточнения расчетного метода электронной структуры при явном учете технологических особенностей роста, определяющих форму потенциального профиля.

Построение математической модели структур с множественными квантовыми ямами для ИК-фотоприемников с МКЯ проводилось при следующих ограничениях и допущениях:

- ввиду большой толщины барьера (порядка 500-550 А) не учитывается возможность подбарьерного туннелирования в отсутствие внешнего электрического поля;

- квантовые ямы предполагаются статистически неразличимыми;

- не учитываются экситонные эффекты;

- не учитывается влияние встроенного электрического поля;

- не учитывается влияние электрического поля, образуемого протекающим фототоком;

- не учитывается зависимость эффективной массы от энергии.

При этом создаваемая математическая модель должна учитывать:

- форму потенциального профиля;

- возникающие напряжения кристаллической решетки;

- температурную зависимость ширины запрещенной зоны;

- влияние внешнего электрического поля.

Разрабатываемая математическая модель должна обеспечивать расчет:

- энергетического спектра структуры;

- распределения волновой функции по толщине структуры;

- характерной спектральной чувствительности структуры;

- межуровневого матричного элемента импульса (квантовомеханических правил отбора);

- относительной интенсивности межуровневых переходов;

- коэффициентов квантовомеханического отражения и прохождения;

- коэффициента оптического поглощения;

- квантовой эффективности;

- чувствительности;

- обнаружительной способности;

- вольтамперной характеристики.

Примем, что в общем случае квантовая яма является непрямоугольной асимметричной. Как указывалось выше, для расчета может быть использован сравнительно простой приближенный kp-метод в рамках приближения эффективной массы. Для простой зоны чаще всего используемое уравнение kp-метода [6]

, (1)

где - пространственно-зависимый потенциальный рельеф; - пространственно-зависящая эффективная масса. Такая форма уравнения не является вполне корректной [5]. Основным недостатком рассмотренного подхода является невозможность учесть возможность межподзонных переходов для z-поляризованного света в рамках однозонного уравнения.

В [7, 8] предложена модификация kp-метода в рамках приближения эффективной массы. Этот способ заключается в выделении плавной части потенциала гетероструктуры и резкой, отличной от нуля только в малой области вблизи гетерограницы. Плавная часть учитывается стандартным образом, а резкая часть «обрабатывается» аналогично тому, как рассматривается «поправка на центральную ячейку» в теории глубоких примесей. В работах [7, 8] выведено уравнение эффективной массы, учитывающее пространственную зависимость последней и возможную резкость гетерограниц для зоны проводимости и валентной зоны, при этом ошибка полученного уравнения составляет порядка , где - обратная характерная длина изменения огибающей функции, . При всех отмеченных достоинствах подход [7, 8] обладает высокой ресурсоемкостью, затрудняющей его практическое использование. Согласно иерархии уравнений приближения эффективной массы [8], может быть предложен композиционный расчетный метод, позволяющий определять энергетический спектр и огибающие волновые функции согласно [6], а интенсивность межподзонных переходов (поправки к квантовомеханическим правилам отбора) согласно [7-8]. При этом ошибка в определении энергетического спектра не превысит 3% [9], что для практических расчетов пренебрежимо мало.

Значения физических параметров материалов-компонентов структуры с МКЯ, являющиеся входными данными для kp-метода, могут быть взяты из аналитических материалов, например [10]. Потенциальный рельеф определяется величиной относительного разрыва зон на гетерогранице и шириной ямы, а также технологическими особенностями, которые можно описать, введя параметр a, характеризующий резкость гетерограницы. Величина относительного разрыва зон для напряженных материалов (структур, составленных из полупроводников с неидеально согласующимися решетками) может быть определена в рамках модели Ван-де-Валле [11]. В рамках этой модели относительный разрыв зон проводимости

, (2)

где . Здесь и – ширины запрещенных зон ненапряженных материалов барьера и квантовой ямы соответственно,
Q – относительный разрыв валентной зоны для тяжелой дырки; - гидростатическое напряжение; - изменение энергетического положения зон тяжелой дырки.

Физические параметры тройных растворов – материалов барьера и ямы можно получить из формул квадратичной аппроксимации

, (3)

где B – коэффициент квадратичной нелинейности, ABC – соответствующий тройной твердый раствор и AB и BC – соответствующие двойные соединения.

Для учета температурной зависимости ширины запрещенной зоны в настоящей работе применен эмпирический метод Варшни

, (4)

где α и β – эмпирические коэффициенты [12].

Энергии межуровневого внутризонного оптического перехода (диапазон спектральной чувствительности) определяются как расстояние между соседними уровнями размерного квантования (при этом переходы между этими уровнями должны быть разрешены квантовомеханическими правилами отбора)

, (5)

где e₁ и e₂ – разрешенные уровни энергии в квантовой яме. Спектральная чувствительность, таким образом, определяется формулой:

(6)

Коэффициенты квантово-механического отражения и прохождения электрона на границах яма—барьер могут быть получены из решения стационарного уравнения Шрёдингера для частицы, имеющей энергию, превышающую барьерную. Для барьера произвольной формы решение нетривиально и не всегда может быть записано в аналитической форме, однако возможно численное определение коэффициента отражения для произвольного профиля, основанное на использовании уравнения непрерывности потока частиц.

Квантовомеханические правила отбора и относительная интенсивность межподзонных переходов определяются межуровневым матричным элементом импульса

, (7)

где - собственные функции, определенные из уравнения (1). Коэффициент оптического поглощения может быть вычислен согласно известному квантовомеханическому выражению

, (8)

где , - энергии электрона в начальном и конечном состояниях; - единичный вектор поляризации; вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны; - частота падающей электромагнитной волны; e и - заряд и масса свободного электрона соответственно; - плотность потока падающих фотонов; - межуровневый матричный элемент импульса.

Определение поправок к относительной интенсивности межподзонных переходов для нормально падающего света в зоне проводимости подробно рассмотрено в работе [13] и определяется следующим выражением

, (9)

где - относительная интенсивность переходов, определенная в рамках стандартного подхода эффективной массы, - относительная интенсивность переходов, определенная в рамках подхода Волкова-Тахтамирова. В частности, в случае прямоугольных симметричных ям могут быть сделаны аналитические оценки

,

где - глубина потенциальной ямы для электронов, - ширина запрещенной зоны материала ямы.

Вольтамперная характеристика структуры может быть определена согласно [14]

,

где E – напряженность электрического поля в барьере; v_s - скорость насыщения, m — подвижность; k – постоянная Больцмана; e – заряд электрона; - максимальный разрыв зон на гетерогранице; E_F - уровень Ферми; L_w – ширина ямы; L_b – ширина барьера; a - параметр, характеризующий резкость гетерограницы; τ_l – время жизни электрона; А = const.

Фотоэлектрические характеристики структуры (квантовая эффективность, обнаружительная способность и чувствительность) существенно зависят от геометрических параметров фоточувствительной области. Расчетные выражения для них могут быть взяты, например, согласно [15].

Таким образом, общую структурную схему предлагаемой математической модели можно представить следующим образом:

Рисунок 1 - Структурная схема математической модели структур с множественными квантовыми ямами для ИК-фотоприемников

В предложенной схеме в верхней строке перечислены входные параметры модели, в нижней части приведены параметры фотоприемников, построенных на моделируемой СМКЯ. Расчетные блоки показаны несглаженными прямоугольниками, элементы, составляющие ядро модели, выделены жирной рамкой. Промежуточные расчетные результаты обозначены штриховой рамкой.

На рисунках 2-3 показано сопоставление экспериментальных данных [16, 17] для спектров фоточувствительности с расчетными в рамках двух моделей (прямоугольного и непрямоугольного потенциального профиля). Одинарной стрелкой показан максимум фоточувствительности, вычисленный в рамках стандартной модели. Двойной стрелкой показан результат вычислений в рамках предложенной модели непрямоугольных ям (потенциальный профиль выбран в виде квадратичной зависимости от координаты). Форма профиля согласована с особенностями технологического процесса.

Рисунок 2 – Зависимость чувствительности от длины волны для системы AlGaAs/GaAs (яма из GaAs имела толщину 50А, а барьер Al_xGa_1-xAs (x = 0,24) – 450А)

Рисунок 3 – Зависимость чувствительности от длины волны для системы InGaAs/AlGaAs (яма из In_yGa_1-yAs (y = 0,20) имела толщину 65А, а барьер Al_xGa_1-xAs (x = 0,35) – 450А)

Видно, что разработанная модель имеет лучшее согласование с экспериментом, относительная ошибка расчета максимума фоточувствительности не превышает 3 %.

Таким образом, разработанная математическая модель структур с множественными квантовыми ямами основана на композиции подходов приближения эффективной массы и не использует предположения о прямоугольности и симметричности потенциального профиля. Эти особенности модели позволяют добиться более точного совпадения с экспериментальными данными. Предложенная математическая модель позволяет провести расчет энергетического спектра; распределения волновой функции по толщине структуры; межуровневого матричного элемента импульса (квантовомеханических правил отбора); относительной интенсивности межуровневых переходов; коэффициентов квантовомеханического отражения и прохождения. Дальнейшее развитие модели состоит в учете транспортных и экситонных эффектов.

Список литературы

1. Пономаренко В. П., Филачев А. М. Фотоприемники и фотоприемные модули нового поколения // Прикладная физика, 2001, № 6, с. 20-38.

2. Levine B. F. // J. Appl. Phys., 1993. № 74. R1
3. Случинская И.А. Основы материаловедения и технологии полупроводников. – М., 2002 – 376 с.
4. Залевский И. Д. и др.// Изв. вузов. Сер. Материалы электронной техники. 1999. № 3. С. 8—11.
5. Волков В. А., Тахтамиров Э. Е.. УФН 167 1123 (1997).
6. Frensley W. R., Einspruch N. G. Heterostructures and Quantum Devices. A volume of VLSI Electronics: Microstructure Science. Academic Press, 1994
7. Тахтамиров Э. Е., Волков В. А.. ЖЭТФ 116 5(11) 1843 (1999)
8. Тахтамиров Э.Е., Волков В. А.. ЖЭТФ 117 1221 (2000)
9. R. Gómez-Alcalá, F. J. Fraile-Peláez, A. Espiñeira, X. Piñeiro. Effective-mass approaches for one-dimensional quantum well structures. Comparison with exact results. Superlattices and Microstructures. - Vol 20. - No. 1. – p. 35-44 (1996)
10. Herbert Li E. Material parameters of InGaAsP and InAlGaAs systems for use in quantum well structures at low and room temperatures // Physica E. – 2000. – No. 5. – p.215-273
11. Van de Walle C.G. Band lineups and deformation potentials in the model-solid theory. // Phys. Rev. B. – 1989. – vol. 39. – No. 3. – p. 1871-1881.
12. Varshni Y.P. Physica 34, 149 (1967).
13. Акиншина Г.В. О правилах отбора для квантовых ям различной формы. // Науч. труд. междунар. конф. «Актуальные проблемы современной науки». Самара: Изд-во СамГТУ, 2005 – С. 15-17
14. Куликов В.Б. Будкин И.В. Фотоэлектрические характеристики структур с непрямоугольными квантовыми ямами // Прикладная физика, 2003, № 5, с. 79-83
15. Gunapala S. D., S. V. Bandara Quantum Well Infrared Photodetector (QWIP) Focal Plane Arrays // Semiconductorsand Semimetals series, Vol. 62, 1999.
16. Куликов В. Б., Аветисян Г. Х., Василевская Л. М. Фоточувствительность структур с квантовыми ямами, выращенных методом МОС-гидридной эпитаксии, при нормальном падении излучения. // Прикладная физика, 2003, № 4, с. 65-68
17. Л. М. Василевская, Ю. А. Кузнецов, В. Б. Куликов, А. И. Хатунцев и др. Фотоэлектрические характеристики структур с квантовыми ямами, чувствительных в диапазоне 3—5 мкм, выращенных методом МОС-гидридной эпитаксии. // Прикладная физика, 2003, № 5, с. 76-78