В связи с бурным развитием полупроводниковой, лазерной техники в последнее время особое внимание уделяется росту кристаллов. Возникает вопрос, как изменяются выращиваемые кристаллы, какие протекают процессы в питающей среде и самих кристаллах, как изменяются свойства кристаллов и т.д. Каждый из поставленных вопросов порождает широкий класс задач, связанных с математическим моделированием с использованием различных методов статистики, теории вероятности, математической физики.
Моделирование роста кристаллов и процесса кристаллизации требует различных подходов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки на определенных масштабах пространства и времени. Методы моделирования процессов происходящих на микроскопическом уровне, не способны описать феномен роста на макроскопическом уровне, и наоборот [1]. Например, методы Монте-Карло дают хорошие результаты при моделировании изменений решетки кристалла, растущего в газе. С их помощью хорошо моделируется образование дефектов решетки, но они не столь эффективны при моделировании роста в растворе или расплаве [1]. На макроскопическом уровне рост может считаться непрерывным процессом, и его можно описывать с помощью дифференциальных уравнений в частных производных (например, модель фазовых полей [2], в которой используется модификация уравнения диффузии). Для описания потоков в ростовых установках используются основные уравнения гидродинамики [3]. Можно разделить вопросы, относящиеся к искусственному и естественному росту, к росту одиночных кристаллов и образованию кристаллических агрегатов. В большинстве случаев строится модель роста отдельного кристалла или явления. Частный случай – рост кристаллов на подложке.
Замечание:
Моделируемые кристаллические структуры, состоящие из сросшихся некоторым образом
кристаллов, в литературе называют кристаллическими агрегатами (от англ. aggregate),
а сами кристаллы – индивидами [4]. Будем использовать данные понятия,
чтобы различать, когда речь идет об отдельном кристалле внутри сростка, а когда
о структуре в целом. Также будем использовать понятие монокристалл, когда речь будет
идти о независимо растущем одиночном кристалле.
Назовем исходное состояние монокристалла затравкой. Она представляет собой кристалл,
имеющий естественную плоскую огранку. Возможна тривиальная затравка, когда кристалл
начинает формироваться с некоторой точки - центра кристаллизации.
В последнее время большое внимание уделяется росту кристаллов. Особенно востребованными являются монокристаллы с определенными физическими и химическими свойствами. Для их получения используются различные методики выращивания [2]. Большой процент выращенных кристаллов не удовлетворяет требуемым свойствам по различным причинам: дефекты, сростки, двойники и т.д. В случае двойников или сростков можно выделить индивид с определенными свойствами, но только если полностью известна структура сростка. Чтобы ее определить, необходимо знать, как образовался сросток.
В общем случае на подложке одновременно может расти сразу несколько кристаллов, но рассмотрим случай, когда растут два кристалла. Построение модели сростка для пары кристаллов имеет большое значение для модели более сложного сростка, поскольку для структуры из трех и более кристаллов необходимо оценивать, какое срастание с каким кристаллом возникает в некоторой области пространства.
В задаче моделирования совместного роста двух кристаллов основной проблемой является определение того, как изменяется форма растущего индивида при соприкосновении с другим растущим индивидом. На первый план выходит описание пограничной области (индукционной поверхности), определение ее геометрии.
При рассмотрении срастания на молекулярном уровне модель требует учета параметров кристаллической решетки, ее структуры, характерных размеров для каждого из кристаллов. Также необходимо учесть концентрацию "строительных элементов" в каждой области срастания, их характерные размеры и многое другое. На данном уровне детализации также необходимо учитывать вероятностный характер процесса построения решетки. Однако, в данной работе будет рассмотрена идеализированная модель, в которой рост рассматривается с чисто геометрической точки зрения.
В основу данной модели положены следующие предположения:
Замечания:
1.
В литературе такая модель, рассмотренная для случая роста одного кристалла, называется
поверхностно гладкой [6]. Она применима для случая роста кристаллов
в условиях, близких к естественным. Полагается, что в процессе роста кристалла каждая
грань за единицу времени вырастает целиком и на одинаковую величину, то есть растет
послойно. В этом случае приемлемо математическое задание грани с помощью плоскости,
перемещающейся в направлении нормали, а кристалл в целом задается в виде набора
таких плоскостей.
2. Обычно границы кристаллов в агрегате сопровождаются так называемыми поверхностными дефектами решетки, однако толщина слоя, в котором наблюдаются дефекты, не превышает 1-2 межплоскостных расстояния в направлении нормали к поверхности [7] (рис. 1). В результате границы индивидов находятся в напряжении и обладают поверхностной энергией.
В нашей модели поверхности кристаллов в сростке идеальны и не имеют дефектов, а границы индивидов внутри сростка соответствуют границам кристаллических решеток, так как в данной модели элементарная ячейка кристаллической решетки бесконечно мала в сравнении с размерами системы.
Замечания:
1. В затравках представлены только грани, растущие вверх, хотя в принципе известны
все потенциально возможные грани с вектором нормали, направленным вниз (т.к. подложка
ограничивает рост в направлении
; т.к. при рассмотрении грани с отрицательным
направлением роста возможно образование полостей).
2. Центры симметрии обоих кристаллов располагаются на подложке (данное ограничение
не принципиально, но дает возможность определять момент, когда возникло срастание
на плоскости).
3. В начальный момент времени затравки могут пересекаться только по граничным точкам.
Прежде, чем определять, как будет расти агрегат на подложке, надо определить, как будет расти каждый индивид независимо в отсутствии других индивидов, то есть определить модель роста монокристалла.
С учетом постоянства внешних условий была выбрана модель, основанная на модели Франка, в которой полагается, что скорость роста поверхности зависит только от ее ориентации по отношению к кристаллической решетке [8].
Форма монокристалла в данной модели описывается набором плоскостей (векторов нормалей и расстояний от начала координат).
Рост грани определяется скоростью - перемещением за единицу времени в направлении
нормали. Таким образом, уравнение плоскости для произвольного момента времени задается
Используя текущее состояние набора плоскостей, с помощью построения Вульфа можно получить форму кристалла – минимальный выпуклый многогранник, ограниченный заданным набором плоскостей [5].
Так как в процессе роста набор плоскостей не увеличивается и не возникает новых
граней. В зависимости от скоростей роста со временем количество плоскостей, участвующих
в определении формы кристалла, может только уменьшаться. Данное явление называется
выклиниванием граней. Оно возникает, когда монокристалл растет от нетривиальной
затравки и для
некоторых пар смежных граней выполняется следующее соотношение:
Для каждого монокристалла существует единственная для определенных условий роста
стационарная форма [2] Она характеризуется тем, что со временем
происходит только увеличение площадей граней, но набор граней не меняется (рис.
5).
Итак, подведем некоторые итоги для модели роста одиночного кристалла:
Как было написано ранее, основная задача моделирования срастания кристаллов – это
построении границ индивидов внутри сростка. Граница каждого индивида состоит из
трех частей:
- граница с подложкой,
- внешняя граница – контакт с питающей средой,
- граница с другим индивидом (отсутствует, пока не возникло контакта с другим индивидом).
Для случая двух кристаллов других поверхностей, ограничивающих индивид, быть не
может, поскольку при их срастании не образуется полостей. Данное утверждение может
быть доказано от противного. Пусть есть сросток двух индивидов, внутри которого
есть полость (рис. 7)
Все приведенные типы касаний необходимо рассматривать для двух различных типов граней: закрытых и открытых. Под закрытыми гранями понимаются такие грани, которые закрыты от другого индивида гранями собственного кристалла. Срастание с такими гранями не может начаться, пока не пройдет срастание с соседними гранями. Определить такие грани можно, соединив их вершины с центром роста другого индивида. Если все вершины заслонены, то такую грань необходимо считать закрытой (рис. 14).
В случае закрытых граней возникает ситуация, когда после прохождения через точку или отрезок – начало срастания быстро растущий кристалл начинает формировать кроме срастания с закрытой гранью дополнительные грани (рис. 15).
Можно показать, что данная ситуация эквивалента случаю, когда рост кристалла начинается с тривиальной затравки (см. примечание ниже), расположенной на ребре другого кристалла. Только в данном случае кристалл, растущий из тривиальной затравки, имеет ту же кристаллическую решетку с той же ориентацией, что и быстро растущий индивид. Да и с энергетической точки зрения продолжение формирования кристаллической решетки быстро растущего кристалла более выгодно. Так как решетка сохраняется, и мы имеем дело с растущими идеальными кристаллами (геометрия обуславливается только кристаллической решеткой), то геометрия добавленного кристалла соответствует геометрии быстро растущего, но с учетом срастания с закрытой гранью.
В данном случае под тривиальной затравкой понимается одна из ситуаций:
В зависимости от скоростей роста граней двух кристаллов возможны три сценария срастаний:
В рамках данной работы были проведены:
Данная работа является начальным этапом. В дальнейшем планируется расширить модель для произвольного количества кристаллов и удалить ограничения, связанные с подложкой.
Одним из возможных направлений расширения предложенной геометрической модели роста является включение в модель влияния поверхностных дефектов на образование срастания, зависимостей скоростей роста от температуры, перенасыщения раствора.
Я благодарю своего научного руководителя Виктора Алексеевича Дебелова за постановку задачи и своевременную критику решений и идей.