Моделирование динамики многослойного газового пузырька в жидкости

Линд Ю.Б.

ООО «Башгеопроект», Институт математики УНЦ РАН, г. Уфа

   

Введение

Буровые растворы, состоящие из многослойных пузырьков газа в водном растворе ПАВ, относятся к одному из последних поколений технологических жидкостей, предназначенных для вскрытия нефтегазоносных пластов с низким пластовым давлением [1, 2]. Благодаря специфическому строению, они, в отличие от обычных пен, устойчивы к механическим воздействиям и способны создавать тонкий кольматационный экран в пластах практически любой пористости и проницаемости. Такие буровые растворы не содержат твердой фазы или других компонентов, способных необратимо нарушить коллекторские  свойства пласта, и поэтому не требуют каких-либо дополнительных мер по очистке призабойной зоны пласта от механических частиц и гидрофильных жидкостей. Поэтому для получения и управления технологическими параметрами промывочных жидкостей актуальной задачей является адекватное описание процесса образования и поведения многослойных газовых пузырьков в составе бурового раствора и кольматационном экране.

Построение и реализация математической модели, описывающей динамику одиночного многослойного газового пузырька в гетерогенной системе, представляются важными, поскольку решение задачи о колебаниях монопузырька способствует формированию понятий об основных закономерностях движения в процессе взаимодействия пузырьков в кластере. Целью данной работы является построение и численная реализация эффективной математической модели, описывающей кинетику формирования и динамику многослойного газового пузырька в многофазной жидкости.

 

1. Структура и свойства многослойного газового пузырька

В данной работе рассматриваются микроскопические пузырьки воздуха, защищенные двухслойной гидрофобной оболочкой ПАВ с прослойкой воды и бронирующим пузырек высокомолекулярным соединением (рис.1) [2].

 

Рис.1. Структура многослойного газового пузырька

Основными отличиями растворов, содержащих такие многослойные микропузырьки, от пен (в том числе, используемых в традиционных аэрированных растворах), являются двухслойная оболочка с промежуточным слоем воды (оболочка пузырька воздуха в пене состоит из одного, мономолекулярного слоя ПАВ), гидрофобный характер наружной поверхности микропузырька (в случае традиционных пен, характер наружной поверхности – гидрофильный), избыточное давление в газовом ядре и, наконец, малый размер, высокая прочность и стабильность структуры. Многослойные пузырьки способны образовывать сложные конгломераты, удерживаемые давлением Лапласа, с образованием внешнего гидрофобного мениска, при этом отдельные пузырьки полностью сохраняют свою структуру, а весь конгломерат наследует свойства и характеристики индивидуального пузырька. Размер таких конгломератов может достигать нескольких миллиметров.

 

2. Механизм формирования многослойных пузырьков

Формирование многослойных микропузырьков происходит при попадании воздуха (или другого газа) в водный раствор, содержащий ПАВ и биополимер. Диспергирование воздуха происходит при перемешивании раствора в блендере.

Молекулы на границе раздела фаз жидкость-газ не полностью окружены молекулами того же вида по сравнению с соответствующими молекулами в объеме фазы, поэтому поверхность раздела фаз в межфазном поверхностном слое всегда является источником силового поля. Из термодинамики известно, что система находится в устойчивом равновесии, если ее свободная энергия минимальна в данных условиях (F=Fmin). Это значит, что в системах, обладающих значительной избыточной свободной поверхностной энергией (F1,2=sS1,2), должны самопроизвольно совершаться процессы, ведущие к ее снижению. Условия протекания такого процесса можно записать в виде

                                                         (1)

Это соотношение показывает, что изменение избыточной свободной энергии поверхностного слоя может идти двумя путями:

1) Поверхностное натяжение s постоянно, изменяется только поверхность раздела:  Примером такого процесса является стремление пузырька газа принять равновесную сферическую форму (удовлетворяющую условию минимума замкнутой поверхности при данном объеме) при отсутствии внешних сил.

2) Площадь поверхностного слоя S1,2 постоянна, изменяется только поверхностное натяжение s: Примером таких процессов являются все адсорбционные процессы (повышение содержания в поверхностном слое компонентов, понижающих своим присутствием поверхностное натяжение – поаерхностно-активных веществ). Ассиметричные молекулы ПАВ, находясь в поверхностном слое, ориентируются таким образом, что их гидрофильная группа обращена к воде, а гидрофобная – к воздуху (рис.2).

Рис.2. Ориентация молекул ПАВ на границе

раздела фаз жидкость-воздух

По мере того как молекулы ПАВ все более тесно располагаются на поверхности, поверхностное натяжение на этой поверхности уменьшается. При достижении определенной концентрации вся поверхность будет покрыта молекулами растворенного вещества. Образуется насыщенный адсорбционный слой, в котором молекулы полностью ориентированы, а поверхностное натяжение достигает минимального и постоянного значения (рис.3).

Рис.3. Адсорбционный слой ПАВ

Затем происходит блокировка оболочки микропузырька высокомолекулярным соединением (биополимером), которое обладает хорошей загущающей способностью.

Рис.4. Конфигурация макромолекул биополимера

 

 

3. Определение площади молекулы ПАВ на поверхности пузырька

и толщины поверхностного слоя ПАВ

 

В данной работе реализовано определение площади молекулы ПАВ на поверхности пузырька и толщины поверхностного слоя на основании экспериментально полученной зависимости поверхностного натяжения от концентрации ПАВ в растворе. Сопоставление вычисляемых значений толщины слоя с длиной ориентированных молекул дает возможность оценить тип поверхностной пленки, определить ориентацию молекул ПАВ в адсорбционном слое.

Расположение молекул ПАВ в адсорбционном слое зависит от их концентрации в этом слое: оно энергетически наиболее выгодно при условии ориентации молекул полярной группой к полярной фазе (воде), а неполярной – к неполярной фазе (газу). При малой концентрации раствора тепловое движение нарушает ориентацию молекул ПАВ (рис.5); при повышении концентрации происходит насыщение адсорбционного слоя и на поверхности раздела фаз образуется слой «вертикально» ориентированных молекул ПАВ (рис.6).  

Рис.5. Расположение молекул ПАВ в ненасыщенном слое

 

Рис.6. Расположение молекул ПАВ в насыщенном слое

 

Образование такого слоя соответствует минимальной величине поверхностного натяжения раствора ПАВ и максимальному значению адсорбции (адсорбция ПАВ – это изменение его концентрации в поверхностном слое по сравнению с объемной фазой). При дальнейшем увеличении концентрации ПАВ в растворе поверхностное натяжение и адсорбция не изменяются.

Количественное соотношение между адсорбцией растворенного вещества и изменением поверхностного натяжения разбавленного раствора определяет уравнение Гиббса:

                                                                                                              (2) где С – концентрация ПАВ в объемной фазе, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура,  – поверхностная активность.

Если построить кривую , то на ее основании можно построить кривую  – изотерму адсорбции. Для этого удобно воспользоваться графическим методом. К кривой  в разных точках построим касательные и продолжим их до пересечения с осью ординат. Через точки, в которых построены касательные, проведем прямые, параллельные оси абсцисс, также до пересечения оси ординат. Измерим отрезок оси ординат (Z) между касательной и проведенной через ту же точку горизонтальной прямой и отрезок оси абсцисс (S) между этой точкой и ее проекцией на ось ординат. Согласно построению,  Þ . Подставив Z в уравнение Гиббса, получим

                                                                      (3)

Таким путем подсчитываются величины Г для ряда концентраций и строится адсорбционная изотерма .

Рис.7. Построение изотермы адсорбции

 

С помощью уравнения изотермы адсорбции Ленгмюра:

                                                               (4)

можно найти константу равновесия адсорбции  (отношение констант скоростей адсорбции и десорбции) и предельную адсорбцию Г∞, построив изотерму в линейных координатах:

                                                           (5)

и применив для вычисления Г∞ и К метод наименьших квадратов.

Далее, по значению Г∞ можно вычислить площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ в поверхностном слое:

                                                                   (6)

и толщину поверхностного слоя (т.е. длину молекулы):

                                                                    (7)

где NA – число Авогадро, М – молекулярная масса ПАВ, ρ – плотность ПАВ.

 

4. Моделирование динамики многослойного газового пузырька в жидкости

На данном этапе работы рассматривается математическая модель газового пузырька (однослойного) в жидкости, а также намечается видоизменение этой модели в связи с многослойностью пузырька и присутствием в растворе ПАВ.

Предположим, что в начальный момент времени газовый пузырек, имеющий радиус а0, помещен в центре колбы, заполненной жидкостью. При рассмотрении колебаний пузырька предполагается, что объем колбы ограничен сферой радиуса RF, который во много раз превышает размер газового пузырька. За счет перепада давлений в газе и в окружающей жидкости пузырек начинает совершать осцилляции в радиальном направлении. При моделировании данной задачи вычислительная область разбивается по радиальной координате на две зоны (рис.8), а именно:

1) – занимаемую газом, где a(t) – радиус пузырька;

2) – зону слабосжимаемой жидкости.

Рис.8. Разбиение вычислительной области

Для описания динамики парогазовой смеси в области , где r – радиальная координата, рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных, записанная в предположении центрально-симметричного характера движения, без учета вязкости и немеханических (за счет радиации) потерь энергии [3]. В приведенных уравнениях переменными без индексов обозначены параметры смеси, индексы «v» и «g» соответствуют параметрам пара (конденсируемая компонента) и газа (компонента, не претерпевающая фазовых переходов).

                       (8)

Здесь r, u, p, T, e=re+ru2/2 – соответственно плотность, скорость, давление, температура и удельная на единицу объема полная энергия смеси, e – удельная на единицу массы внутренняя энергия смеси, k – массовая концентрация пара, l=klv+(1-k)lg – коэффициент теплопроводности смеси, D – коэффициент бинарной (взаимной) диффузии.

Данная система уравнений описывает законы сохранения массы, импульса и энергии применительно к двухкомпонентной смеси в целом. При этом используется диффузионное приближение, в рамках которого скорости относительного движения составляющих смеси малы и учитываются лишь при определении их концентраций. В то же время динамические и инерционные эффекты, связанные с относительностью движения компонент, считаются несущественными, и их влиянием пренебрегают. Также будем считать, что в каждой точке среды выполняется условие локального термодинамического равновесия и однозначно определяется температура T=Tv=Tg.

В начальный момент времени примем, что газ внутри пузырька и окружающая его жидкость находятся в состоянии покоя с разными значениями плотностей, давлений и температур:

                                  (9)

В рамках рассматриваемой модели предполагается, что концентрация растворенного в жидкости газа пропорциональна давлению в жидкости в соответствие с законом Генри. Здесь Н – константа Генри для газа в воде при нормальных условиях, Q – коэффициент растворимости, характеризующий степень дегазации жидкости.

Граничные условия в центре пузырька и на поверхности раздела фаз выглядят следующим образом:

                           (10)

Здесь s  – коэффициент поверхностного натяжения для жидкости на границе пузырька, ml – коэффициент динамической вязкости воды, jv и jd – массовые потоки, вызванные процессами испарения и конденсации пара и диффузией газа, [Т] – скачок температуры на межфазной поверхности, – теплота парообразования, являющаяся функцией давления пара, Сl – скорость звука в жидкости, равная в данном случае постоянной величине, pI – инициирующее давление в жидкости. Следует заметить, что с учетом пространственной однородности давления пузырька и того, что пузырек содержит только газовую компоненту, модель значительно упрощается.

Рассмотрим теперь динамику газового пузырька в растворе, в котором присутствуют в большом количестве поверхностно-активные вещества (ПАВ). Адсорбция ПАВ мало отклоняется от равновесного значения и определяется уравнением Ленгмюра [4]. В этом случае в условие равновесия поверхности пузырька, которое выражается уравнением Лапласа-Юнга, добавляется еще один член, который компенсирует поверхностное натяжение и препятствует растворению пузырька:

                                                              (11)

В настоящее время происходит построение математической модели, учитывающей многослойность пузырька и наличие на его поверхности адсорбционного слоя ПАВ и биополимера.

 

Литература  

1. Sebba F. “Foams and Biliquid Foams – Аphrons”. J.Wiley & Sons, N.Y., 1987.

2. Андресон Р.К., Клеттер В.Ю., Усанов Н.Г., Хафизов А.Ф., Мулюков Р.А. Инструкция по технологии приготовления афронсодерж. бурового раствора в лабораторных условиях. ООО «Башгеопроект», У., 2007.

3. Топольников А.С. Численное моделирование нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом образования ударных волн // Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. У., 2000.

4. Брин Е.С., Синайский Э.Г. Влияние поверхностно-активного вещества на рост газового пузырька в растворе // Методы прикладной математики в нефтяной и газовой промышленности. М., 1978.