Математическое моделирование буровых растворов

Клеттер В.Ю. (ООО «Башгеопроект», УГНТУ, Уфа),

Линд Ю.Б. (ООО «Башгеопроект», ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа)

Введение

При бурении нефтяных и газовых скважин важнейшим условие повышения технико-экономических показателей бурения является совершенствование буровых растворов.

В технологии промывки скважин наименее изучены проблемы управления свойствами буровых растворов с учетом ограничений, обусловленных гидравлической программой бурения. На практике это означает, во-первых, сложность получения бурового раствора, отвечающего требованиям конкретных горно-геологических условий и, во-вторых, трудность регулирования его свойствами в процессе проводки скважины.

Подбор рецептуры бурового раствора представляет собой сложную и до настоящего времени не имеющую удовлетворительного решения задачу. В общем случае для этого необходимо иметь математическую модель, учитывающую влияние различных видов химических реагентов на показатели свойств буровых растворов, а также взаимодействие свойств между собой.

1. Составление математической модели

На математическом языке задача выбора оптимального состава многокомпонентной системы формулируется так: нужно получить представление о некоторой целевой функции η=φ(x₁, x₂,…,x_k), где η – параметр процесса, подлежащий оптимизации, а x₁, x₂,…,x_k – независимые переменные, которые можно варьировать при постановке эксперимента.

Поскольку исследование процесса ведется при неполном знании механизма явлений, естественно считать, что аналитическое выражение целевой функции неизвестно, в связи с чем ее приходится представлять в виде уравнения регрессии, коэффициенты которого находятся на основании экспериментальных данных.

Регрессионный анализ сочетается с идеей планирования эксперимента, которая заключается в том, что на каждом этапе исследования нужно выбрать оптимальное в некотором смысле расположение точек в факторном пространстве так, чтобы получить некоторое представление о поверхности целевой функции.

Рассмотрим два наиболее перспективных, с точки зрения авторов, метода моделирования свойств буровых растворов. Первый из них, метод комбинационных квадратов, учитывает много варьируемых компонентов при планировании рецептуры бурового раствора; второй, метод ротатабельного планирования, рассматривает небольшое число изменяемых компонентов, однако он учитывает также влияние физико-химического взаимодействия между компонентами дисперсной системы на показатели свойств бурового раствора. Также авторами рассматривается сочетание расположения точек ротатабельного планирования эксперимента с нахождением коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов, что позволяет добиться необходимой точности при большей простоте расчетов.

Для оптимизации состава бурового раствора при заданном интервале свойств используется метод покоординатного спуска с максимизацией коэффициента

(1)

1.1. Метод комбинационных квадратов.

Во всех случаях, когда существенных факторов достаточно много, использовать полный факторный эксперимент или ротатабельное планирование (а также метод наименьших квадратов) не эффективно. Это обусловлено тем, что при увеличении числа факторов для реализации этих методов требуется проведение большого числа опытов.

Планирование эксперимента по методу комбинационных квадратов обеспечивает возможность получения нелинейных математических моделей при сравнительно небольшом числе опытов. Точки факторного множества равномерно распределяются в факторном пространстве, а число уровней варьирования факторов составляет от трёх до пяти, при этом имеется возможность оценки степени и характера влияния каждого фактора на тот или иной выходной параметр [1, 2].

При многофакторном планировании эксперимента методом комбинационных квадратов (рис.1) для анализа результатов данного плана эксперимента и составления математической модели необходимо получить уравнения множественной нелинейной регрессии для каждого из показателей свойств исследуемого бурового раствора.

Рис.1. Пример шестифакторного комбинационного квадрата

Построение уравнений множественной нелинейной регрессии с помощью аналитических методов в большинстве случаев невозможно. Для выхода из этой ситуации прибегают к помощи эмпирических методов, дающих адекватные результаты. Одним из таких является метод Брандона. Далее приведён его алгоритм с начальными данными, представленными в таблице 1. Форма линии парной регрессии выбирается из заданного множества стандартных зависимостей, к которым отнесём:

1) ;	2) ;	3) ;	4) ;	5) ;
6) ;	7) ;	8) ;	9) ;	10) ;
11) ;	12) ;	13) ;	14) ;
15) ;		16) .

Коэффициенты всех этих уравнений можно определить, используя метод наименьших квадратов.

Таблица 1. Коэффициенты уравнений

x1	x2	…	xn	y
		…
…	…	…	…	…
		…		ym

Алгоритм Брандона состоит в следующем: сначала вычисляем среднее значение выходной характеристики , . Затем выполняем преобразование , _, для пары переменных (y₀, x₁) строим зависимости типа 1-16 (см. выше) и по критерию Дарбина-Уотсона (DW) и по величине корреляционного отношения h (для линейных зависимостей берут коэффициент корреляции r) выбираем зависимость, имеющая максимальный уровень спецификации: . Далее выполняем преобразование , , и для пары переменных (y₁, x₂) выбираем вид зависимости, имеющий максимальный уровень спецификации: . Продолжаем процесс до исчерпания всех факторов, воздействующих на выходную характеристику.

После определения , строим общую формулу множественной регрессии:

. (2)

Корреляционное отношение считаем по формуле:

. (3)

Если, например, h=0.7, то это означает, что средняя относительная ошибка аппроксимации равна 30%.

Пусть . Тогда значение критерия Дарбина-Уотсона определяют по формуле:

. (4)

Если , то автокорреляция отсутствует, если , или , то имеет место полная автокорреляция. Промежуточные результаты проверяют с помощью специальных таблиц.

Недостатком математической модели, полученной данным методом, является отсутствие учета влияния физико-химического взаимодействия между компонентами дисперсной системы на показатели свойств бурового раствора. Таким образом, при наличии синергетических эффектов между химическими реагентами, составляющими буровой раствор, применение метода комбинационных квадратов для решения поставленной задачи малоэффективно. В этом случае более приемлемым является моделирование с использованием ротатабельного планирования эксперимента.

1.2. Ротатабельное планирование эксперимента

Для составления экспериментального плана выявляются основные факторы, влияющие на исследуемый процесс и характеризующие его выходные параметры. Применительно к буровому раствору это группа реагентов, регулирующих те или иные свойства раствора. Уровни варьирования факторов определяются из анализа априорной информации, часто по литературным или промысловым данным.

При квадратичном планировании факторы изменяются фактически на пяти уровнях (при полнофакторном эксперименте – на двух), что очень важно для описания нелинейной зависимости выходного параметра от влияющих факторов [3].

Устанавливаются границы изменения концентрации (x_i) реагентов. Для каждого из факторов кроме нижнего, верхнего и основного уровней устанавливаются два дополнительных уровня “±a”, где a вычисляется по формуле:

, (5)

где k – количество факторов.

При использовании полинома в качестве математической модели процесса факторы кодируют по формуле

, (6)

где X_i – кодовое значение i-го фактора, x_i – натуральное текущее значение i-го фактора, x_i0 – начальный уровень фактора, I_xi – интервал варьирования i-го фактора.

Рассмотрим пример составления уравнений регрессии, описывающих влияния трех химических реагентов на свойства бурового раствора. Уравнение регрессии записывается в виде полинома n-й степени (в нашем случае n=2):

. (7)

Условия проведения экспериментов отражаются в матрице планирования, где строки соответствуют порядковому номеру опыта, а столбцы – значениям факторов (таблица 2).

Таблица 2. Матрица планирования эксперимента

№ опыта	X1u	X2u	X3u
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1
9	-1,682	0	0
10	+1,682	0	0
11	0	-1,682	0
12	0	+1,682	0
13	0	0	-1,682
14	0	0	+1,682
15-20	0	0	0

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:

(8)

где , ; N – число опытов, k – число факторов, Y_u – результат u-го эксперимента, u – текущий номер опыта, i, j – номер фактора (j > i).

Оптимальным планированием второго порядка считают ротатабельное планирование, позволяющее получать симметричные информационные контуры. Это означает, что информация, содержащаяся в модели равномерно “размазана” по поверхности сферы. Вид информационного профиля зависит от коэффициента l₄: необходимо, чтобы l₄ было немного меньше единицы, не теряя ортогональности плана. Поэтому планы составляют, комбинируя различные правильные геометрические фигуры и выбирая строго определенное количество точек в центре плана.

Так, если равнорасположить n₁ точек на сфере радиуса r > 0 и n₀ точек в начале координат, то

, (9)

где n₁ – число опытов, в которых уровни факторов варьируются (n₁ = 14), n₀ – число опытов в центре экспериментального плана (выбрали n₀ =6).

Гипотеза об адекватности уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера (по условию ).

Коэффициенты уравнения регрессии при данном расположении точек можно также посчитать методом наименьших квадратов, расчетные формулы которого являются более простыми, и в то же время позволяют добиться необходимой точности. Суть этого метода состоит в следующем: для нахождения коэффициентов a₁, ..., a_n системы

(10)

при известных значениях x₁ⁱ, ..., x_nⁱ и f_i, i=1,...,m составляется система нормальных уравнений

(11)

которая служит для отыскания наивероятнейших значений неизвестных, при которых сумма квадратов ошибок в уравнениях будет минимальной. Если записать эту систему в матричном виде:

А × х = F, (12)

то х = А^-1×F, где А^-1 – матрица, обратная к А, которую можно находить, например, методом Гаусса.

2. Численная реализация методов и выводы

Программа, реализующая метод комбинационных квадратов (Rezept), написана в среде программирования Borland Delphi 7 и тестирована для полимер-гликолевого ингибирующего бурового раствора. Варьируемыми факторами здесь являются концентрации стабилизатора PAC ULV, соды, полигликоля, биополимера на основе Ксантана, сшивателя биополимера AlCl₃ и смазки Сонбур, а оптимизируемыми свойствами – также плотность раствора, условная вязкость, пластическая вязкость, динамическое напряжение сдвига, показатель фильтрации и статическое напряжение сдвига через 1 и 10 минут.

Для данных свойств раствора уравнения регрессии представлены в виде произведения отдельных функций

Y_i=a₀·f(X₁) ·f(X₂) ·f(X₃) ·…·f(X_k), (13)

где a₀ – постоянная; f(X_i) – уравнения регрессии, описывающие связь выходного параметра Y_i с каждым из входных факторов X_i; k – число входных факторов (в рассматриваемом случае k=6).

Таблица 6. Коэффициенты уравнений регрессии

Параметр	X	Коэффициенты уравнения
		a	b	c	d	e	f
ρ	X3	-0,00068	0,003478	0,021506	-0,16587	0,317406	0,919756
	X1	-7,4E-05	-0,00026	0,011154	-0,06211	0,132653	0,899506
	X5	0,000301	-0,003	0,00681	0,013097	-0,05202	1,023581
	X4	9,95E-05	-0,00226	0,01667	-0,05202	0,075594	0,952731
	X2	0,000298	-0,00236	-0,00384	0,073323	-0,18629	1,123658
a0= 1	X6	0,000129	-0,00043	-0,00381	0,016982	-0,0164	1,003886
УВ	X6	0,031265	-0,26064	0,210849	2,967066	-7,81675	30,70821
	X4	0,000309	-0,00458	0,020512	-0,01622	-0,05464	1,043931
	X2	-0,00058	0,002505	0,017481	-0,11275	0,195591	0,889594
	X1	-0,00081	0,004171	0,030952	-0,25332	0,541484	0,668014
	X5	0,000394	-0,001	-0,02007	0,104478	-0,15636	1,072777
a0=1	X3	-0,00039	-0,00073	0,042562	-0,20958	0,353298	0,814219
η	X4	0,012262	-0,10476	-0,01609	2,311955	-6,23197	18,8286
	X2	-0,00018	-0,00122	0,019078	-0,04238	0,00554	0,993619
	X5	0,002164	-0,01279	-0,04723	0,437389	-0,8554	1,47646
	X1	-0,00177	0,012108	0,03272	-0,40193	0,897496	0,446448
	X6	0,001532	-0,00724	-0,05773	0,435825	-0,88321	1,514128
a0=1	X3	9,31E-06	0,000842	-0,00598	0,008274	-0,00308	1,014322
ДНС	X2	0,048119	0,036009	-4,12565	17,12833	-16,8765	19,11127
	X6	0,003415	-0,0179	-0,11731	0,963639	-1,96667	2,061087
	X1	-0,00642	0,032057	0,21349	-1,65552	3,321332	-0,95918
	X3	-0,00551	0,02779	0,189331	-1,46992	2,887184	-0,57079
	X4	0,001951	-0,01715	-0,02218	0,548238	-1,47834	2,033807
a0=0,984802	X5	0,002928	-0,0162	-0,08266	0,696736	-1,40613	1,871649
ПФ	X2	-0,00631	0,025487	0,24196	-1,53102	2,652652	1,257233
	X6	-0,00191	0,012862	0,030383	-0,39012	0,861627	0,510472
	X4	0,000508	0,000553	-0,0478	0,243265	-0,44886	1,263647
	X3	0,000135	-0,00459	0,031673	-0,04884	-0,07273	1,10914
	X1	0,002273	-0,01396	-0,05171	0,516043	-1,11378	1,713124
a0=0,98953	X5	-0,00077	0,005923	-0,00305	-0,06413	0,156387	0,905287
θ1	X2	0,001914	0,011588	-0,17936	0,153816	1,671344	2,068302
	X4	-0,00193	0,013614	0,017027	-0,30856	0,758465	0,397785
	X6	0,002262	-0,00498	-0,13268	0,699075	-1,05724	1,426619
	X1	0,001298	-0,00315	-0,07642	0,456596	-0,86092	1,466963
	X5	-0,0002	-0,00277	0,03182	-0,05695	-0,05671	1,0844
a0=1	X3	-0,00027	0,000409	0,023209	-0,12427	0,176551	0,954763
θ10	X2	-0,02967	0,249012	0,093264	-5,76782	16,85511	-4,7979
	X4	-0,0016	0,006134	0,074755	-0,49624	1,006463	0,291485
	X1	0,001117	-0,00407	-0,04696	0,299649	-0,54275	1,252469
	X3	-0,00036	0,003074	0,012933	-0,15012	0,305474	0,873353
	X6	0,000673	-3,9E-05	-0,04739	0,203295	-0,26665	1,1085
a0=1,017037	X5	-0,00117	0,005378	0,038672	-0,25802	0,426441	0,788249

Программа, реализующая методы ротатабельного планирования эксперимента и наименьших квадратов (Optim), написана в среде программирования Borland Delphi 7 и тестирована для биополимерного малокарбонатного гидрофобизирующего бурового раствора. Варьируемыми факторами здесь являются концентрации трех компонентов раствора: крахмала Фито-РК, биополимера Робус КК и карбонатного утяжелителя, а оптимизируемыми свойствами – плотность раствора, условная вязкость, пластическая вязкость, динамическое напряжение сдвига, показатель фильтрации и статическое напряжение сдвига через 1 и 10 минут.

Для данных свойств раствора составлены уравнения регрессии в виде полиномов 2-го порядка (7). Для метода ротатабельного планирования эксперимента (первые строки каждого свойства) и метода наименьших квадратов (вторые строки) получены следующие значения коэффициентов

Таблица 3. Коэффициенты уравнений регрессии

Св-во	b0	b1	b2	b3	b11	b12	b13	b22	b23	b33
ρ	1.080	-0.00	0.004	0.023	0.001	0.002	-0.001	-0.01	0.001	-0.002
	1.080	-0.00	0.004	0.023	0.001	0.002	-0.001	-0.01	0.001	-0.002
УВ	41.77	9.50	28.34	4.47	2.41	6.63	7.38	10.37	6.13	1.88
	40.88	9.50	28.36	4.47	2.70	6.63	7.38	10.68	6.13	2.17
ПВ (η)	16.52	3.56	3.57	1.31	0.38	0.31	0.56	-0.15	-0.56	0.21
	16.02	3.56	3.57	1.31	0.55	0.31	0.56	0.02	-0.56	0.37
ДНС	82.86	11.62	56.54	5.75	2.33	5.40	6.58	8.28	6.58	4.03
	86.28	11.62	56.57	5.75	1.16	5.40	6.58	7.11	6.58	2.86
ПФ	5.29	-1.91	-1.02	0.34	0.48	1.19	-0.99	0.32	-0.84	0.07
	4.76	-1.91	-1.02	0.34	0.66	1.19	-0.99	0.50	-0.84	0.25
СНС-1	8.79	1.28	6.66	0.87	-1.25	1.08	0.05	1.47	0.73	-1.52
	6.56	1.28	6.67	0.87	-0.49	1.08	0.05	2.24	0.73	-0.75
СНС-10	16.70	1.28	12.58	2.19	-1.48	0.40	-0.78	1.78	0.78	-0.95
	15.50	1.28	12.58	2.19	-1.07	0.40	-0.78	2.19	0.78	-0.54

Программой предусмотрено как вычисление значений свойств Y_i для определенных концентраций x_j, так и оптимизация состава раствора (x_j) по заданным интервалам свойств Y_i.

Для проверки адекватности полученных математических моделей была произведена оптимизация состава раствора при помощи этих моделей с последующим лабораторным измерением свойств полученного раствора (таблица 4).

Таблица 4. Проверочный состав раствора

Компонент	Фито-РК	Робус КК	Мел
Конц-я (%)	1.444	0.397	10.6

Лабораторные измерения были сопоставлены с найденными по данным моделям значениями (таблица 5).

Таблица 5. Сравнение расчетов с экспериментом

	ρ	УВ	ПВ (η)	ДНС	ПФ	СНС-1	СНС-10
Эксп-т	1.076	43.5	16	86.2	5.6	9.3	15.2
Ротатаб.	1.083	40	15.8	85	5	6.4	15.4
МНК	1.083	40	15.8	84.9	5	6.4	15.4

Сравнения рассчитанных свойств раствора с экспериментальными показало, что модель достаточно хорошо описывает эксперимент; вместе с тем, для большей точности расчетов было решено использовать для уравнения регрессии полиномы большей степени. В настоящее время тестируется программа с уравнением регрессии в виде полинома третьей степени.

Выводы

Применение математических методов прогнозирования состава бурового раствора имеет очевидные преимущества перед существующим эмпирическим методом:

– более эффективный расход дорогостоящих химических реагентов и, как следствие, их экономия;

– сокращение продолжительности времени принятия решения на буровой в случае необходимости экстренного перехода на буровой раствор с новыми технологическими свойствами.

Для решения задачи регулирования параметров промывочной жидкости в процессе бурения необходим детальный анализ влияния геологических и технологических факторов на циркуляционную систему с целью получения динамической математической модели бурового раствора. Решение этой задачи позволит в будущем перейти к автоматизации всего процесса приготовления и обработки бурового раствора.

Литература

1. Протодьяконов М.М., Тедер Р.И. Методика рационального планирования экспериментов. – М.: Наука, 1970. 75 с.

2. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. – М.: Наука, 1979. 345 с.

3. Санников Р.Х. Планирование инженерного эксперимента. У., 2004. 75 c.