АДАПТИВНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ СНИМКОВ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

В.В. Белов, Е.С. Артамонов, К.Т. Протасов

Рассматривается подход к восстановлению изображений подстилающей поверхности Земли, наблюдаемой со спутников в условиях искажающего влияния атмосферы. Особенность рассматриваемого подхода заключается в том, что функция размытия точки (ФРТ), используемая в линейной модели восстановления, неизвестна, и также подлежит оцениванию. Для этой цели используется это же изображение и информация о том, что фиксируемая сцена содержит объекты с контрастными перепадами яркостей. Стохастической моделью замутненных участков изображения с высоким градиентом является распределение Гумбеля экстремальных значений. Для описания альтернативы выбрано семейство кривых Джонсона. Байесово решающее правило, построенное на этих распределениях, выделяет экстремальные градиенты. Вариации яркостей "размытого" участка изображения в направлении градиентов служат материалом для восстановления ФРТ. В другом случае рассматривается двух этапная процедура коррекции и восстановления изображений подстилающей поверхности Земли, регистрируемых приборами AVHRR спутников NOAA для некоторых ситуаций, наблюдаемых в весенний и осенний периоды, основанная на статистических методах. На первом этапе для устранения влияния полупрозрачной облачности используется метод преобразования гистограмм (этап коррекции данных). На втором этапе для устранения экранирующего влияния облаков используется подход, основанный на восстановлении изображений с помощью непараметрических регрессионных зависимостей прогнозирования данных одних спектральных каналов по информации других (этап восстановления).

1. ВВЕДЕНИЕ

При тематическом анализе видеоданных подстилающей поверхности Земли (ППЗ) алгоритмами автоматической классификации и распознавания образов актуальна задача предварительной обработки с целью устранения искажений, обусловленных аэрозольной составляющей атмосферы (дымки, полупрозрачных туманов). Сложность коррекции видеоданных заключается в том, что передаточный оператор атмосферы (или оптическая передаточная функция) на момент регистрации снимка, определяемый в модели восстановления функцией рассеяния точки, как правило, неизвестен. Конкретно сложившаяся на момент пролета спутника оптическая погода может существенно отличатся от среднестатистической. В связи с этим в разделе 2 рассматривается задача восстановления ФРТ по информации, извлекаемой из самого размытого изображения [1,3,4], предполагая, что в первом приближении наблюдаемая территория содержит квазиоднородные ландшафтные участки (полей, леса, водной поверхности, пашни и т. п.) и градиентные перепады яркостей разнородных ландшафтных образований (типа вода-берег, просека-лес, дорога-обочина, участки теней-света хребтов и лощин и т. п.). Другому варианту коррекции изображений посвящен раздел 3, где рассмотрен статистический подход, обусловленный следующей ситуацией. При съемке ППЗ прибором AVHRR спутников NOAA в осенний и весенний периоды часто наблюдаем следующую картину. В 1-ом и 2-ом каналах, фиксирующих альбедо ППЗ, отмечаем полупрозрачное замутнение некоторых участков видеоданных. В то же время в 3-ем, 4-ом и 5-ом "тепловых" каналах видим полное экранирование этих фрагментов изображений аэрозольными тепловыми аномалиями. Вместе с тем на изображениях существуют участки с подобной текстурой и отсутствием замутнения. Это является предпосылкой для развития следующего метода. Если изображение является неискаженным по основному полю видеоданных, то коррекция полупрозрачной дымки на отдельных участках достаточно малой площади может быть осуществлена преобразованием гистограмм яркостей. В этом случае предполагается, что нам известна эталонная гистограмма распределения яркостей участка изображения, наблюдаемого при "хороших" условиях видения. Затем этот участок видеоданных при повторном наблюдении со спутника фиксируется в условиях влияния дымки. Это приводит к сжатию динамического диапазона наблюдений и искажению формы гистограммы. Задача заключается в пересчете радиояркости замутненного изображения таким образом, чтобы скорректированное изображение имело гистограмму, подобную эталонной гистограмме. Последующее восстановление локальных участков многоканальных видеоданных основано на прогнозирующих свойствах регрессионных зависимостей, описывающих взаимосвязи физических полей радиояркостей. В этом случае нелинейное уравнение регрессии предварительно восстанавливается на комплектных (незамутненных) участках видеоданных, где искажения отсутствуют, а затем используется для восстановления утраченных экранированием участков изображения. При этом необходимо соблюдать условия текстурной (статистической) однородности участков видеоданных, выбранных для обучения (восстановления регрессионной зависимости) и восстанавливаемого участка, подверженного искажениям или затенениям. Назовем рассматриваемые далее способы восстановления адаптивными, так как оцениваемые ФРТ с точностью до ошибок адекватны конкретно реализовавшимся условиям наблюдения и априорно неизвестны [1,3,4].

Примем следующее априорное предположение как рабочую гипотезу: на наблюдаемом фрагменте размытого изображения, подлежащем восстановлению, должны быть "резкие" границы физических объектов ППЗ. Таковыми могут быть, например, границы разделов лес-просека, лес-дорога, берег-река, пашня-поле и тому подобное. Если каким-либо образом оценить степень или характер этих размытых переходов, то можно восстановить и форму функции рассеяния точки. Если попытаться оценить градиенты изображения, то экстремальные значения этих "размытых" градиентов будут относиться к границам физических объектов, которые мы должны "видеть четко", без размытия (вместе с тем на изображении естественно будут присутствовать и объекты с плавными изменениями интенсивностей, и мы наблюдаем весь спектр значений градиентов). Таким образом, в первом приближении мы предлагаем следующие этапы алгоритма решения этой задачи:

1. прежде всего, выделяем относительно стационарный участок размытого изображения, в пределах которого ФРТ не меняет свою форму;
2. продифференцируем полученное изображение и построим гистограмму распределения значений оцениваемых градиентов;
3. декомпозируем полученную гистограмму на два распределения с весовыми множителями, одно из которых – (право ориентированное) описывает распределение экстремумов градиентов (ситуация А₁), а второе - (лево ориентированное) описывает все остальные не градиентные перепады яркостей (ситуация А), то есть, надо идентифицировать смешивающее распределение;
4. после того, как смесь идентифицирована, строим байесово решающее правило проверки двух гипотез: - градиент и - не градиент, которое выявит на изображении все участки видеоданных, связанных с наличием размытых границ объектов ППЗ с высоким контрастом;
5. теперь сканируем лишь эти участки видеоданных и фиксируем степень их размытия, получая "срезы" для восстановления симметричной ФРТ;
6. наконец, когда ФРТ получена, восстановление изображения производится одним из стандартных методов, например, с помощью инверсного фильтра.

Теперь рассмотрим задачу поиска градиентных перепадов яркостей и подход к оцениванию таких перепадов подробнее. С этой целью введем понятие окрестности анализируемой точки изображения. Будем полагать, что подлежащее анализу изображение оцифровано, так что цифровое представление имеет вид двумерной матрицы чисел , где - оцифрованное значение яркости для точки (пиксела) с координатами плоскости наблюдаемого изображения формата . Совокупность элементов локального участка изображения с координатами принадлежащими квадрату пикселов будем называть фрагментом с центральным элементом и введенной на нем локальной системой координат , где - параметр размера окна. Для описания поведения значений яркостей в пределах фрагмента воспользуемся фасеточной моделью Харалика-Ватсона [4], при этом локальные характеристики изображения описываются отрезками плоскости - фасетами. Уравнение этой плоскости относительно декартовых прямоугольных координат имеет вид

, (2.1)

где . Проведем плоскость через набор значений оцифрованных интенсивностей для окрестности некоторой центральной точки изображения наилучшим образом в смысле минимума следующего квадратичного критерия невязки

, (2.2)

где - значения яркостей в окрестности центральной точки с локальными координатами , . Дифференцируя по оцениваемым параметрам и приравнивая частные производные к нулю, находим оценки неизвестных величин, тогда

, (2.3)

, , , .

, (2.4)

, ,

, .

Фасеточную модель фрагмента будем использовать для решения задачи выделения градиентных участков изображения. Величину градиента изображения в некоторой точке будем оценивать пространственной производной, определяемой как отношение площади наклонной плоскости, проведенной через совокупность радиояркостей ансамбля точек, образующих окрестность на квадрате к площади основания этого фрагмента . Для уравнения плоскости в направляющих косинусах (2.4) имеем следующую оценку градиента

, (2.5)

где суммирование производится от –l до +l. Полученное оценочное значение градиента соотнесем центральной точке фрагмента с локальными координатами пиксела . Если теперь аналогичным образом "продифференцировать" каждый из фрагментов всего анализируемого изображения, соотнося центральным элементам "скользящего" окна пиксела значения соответствующих градиентов, то от исходного изображения радиояркостей мы перейдем к изображениям градиентов . Введенное определение градиента обладает фильтрующими свойствами, хотя и приводит к дополнительному сглаживанию оцениваемых величин.

Для построения байесова решающего правила обнаружения и выделения экстремальных значений градиентов на полученном градиентном изображении необходимо прежде всего восстановить вероятностные модели ситуации А₁ - градиент и А₀ - не градиент, и оценить их априорные вероятности. Для этого необходимо декомпозировать полученную гистограмму распределения градиентов на два распределения, одно из которых – распределение экстремумов градиентов, а второе – распределение остальных не экстремальных градиентов, то есть, надо идентифицировать составляющие компоненты следующей модели

, (2.6)

где - распределение экстремумов градиентов, - распределение не экстремальных градиентов, P, Q – априорные вероятности ситуации А₀ и A₁ соответственно, причем P + Q =1. Возникает задача оптимизации квадратичного критерия качества следующего вида

, (2.7)

где - гистограмма распределения градиентов изображения, а - вектор неизвестных параметров, состоящий из компоненты P и параметров функций плотности и , принадлежащих параметрическим семействам функций. Следует заметить, что задача восстановления компонент смеси имеет решение лишь в случае её идентифицируемости. Это трудно формализуемое и проверяемое условие с геометрической точки зрения означает, что и должны иметь ярко выраженные моды. Поэтому доля или мера участков с экстремальными значениями градиентов должна быть достаточно высокой, чтобы функция плотности могла проявить свою форму. Задача декомпозиции смешивающего распределения, ввиду высокой неопределенности, не всегда имеет решение. Необходимо привлечь априорные данные о форме составляющих распределений. В связи с этим обратимся к следующему факту математической статистики, связанному с теорией экстремальных значений. Известно, что плотность распределения максимумов независимых случайных величин в асимптотике растущего числа наблюдений I типа (распределение максимальных значений Гумбеля ) имеет следующий вид

, (2.8)

, , ,

где - параметр (мода) центра распределения, - масштаб распределения, причем, оценочные мат ожидание и дисперсия связаны с и следующим образом: , . В качестве нами было выбрано распределение Джонсона S_B, с параметрами (нижняя граница x), (размах выборки), а - параметры формы. Учитывая, что часть параметров можно оценить по выборочным данным, фактически вектор неизвестных параметров имел лишь три компоненты и , где -знак транспонирования. Задача оптимизации критерия (2.7) решалась с привлечением адаптивных методов поиска экстремума. После того, как смесь идентифицирована, построим байесово решающее правило проверки двух гипотез: - градиент и - не градиент, которое выявляет все участки видеоданных, связанных с наличием границ размытых перепадов яркостей

, (2.9)

где u - принимаемое решение или номер принимаемой гипотезы, . Байесово решающее правило (2.9) преобразует изображение градиентов в изображение контурных линий, соответствующих экстремальным значениям градиентов.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФРТ ПО ЗАМУТНЕННЫМ ИЗОБРАЖЕНИЯМ

На предшествующем шаге нам удалось выявить на изображении участки с размытым краем, причем, нас будут интересовать, прежде всего, линейные участки изображений. Рассмотрим вопросы, связанные с восстановлением ФРТ по размытому краю [4]. Будем полагать, что функция рассеяния точки нормирована и . В проекции на плоскость ФРТ имеет вид , что соответствует функции рассеяния линии или щели. Для края полуплоскости распределение интенсивности в направлении, перпендикулярном краю описывается суммированием функций рассеяния линий, так что получаемая интенсивность имеет следующий вид

. (2.10)

Таким образом, если нам известна функция рассеяния края, то . Предположим, что ФРТ обладает круговой симметрией (осесимметрична). В этом случае пространственную ФРТ можно восстановить всего лишь по одному сечению – проекции ФРТ на плоскость. Действительно, спектр проекции ФРТ на плоскость, проведенную через ось и под углом к оси или (ввиду осевой симметрии ФРТ) на плоскость имеет вид . Двумерное преобразование Фурье от ФРТ выражается следующим образом

, (2.11)

сравнивая и , видим, что . Откуда следует, что является сечением плоскостью , а ввиду осевой симметрии, произвольным центральным сечением. В этом случае восстанавливается по сечению путем задания радиус-вектора , то есть . Таким образом, для восстановления ФРТ по реально размытому изображению необходимо оценить функцию размытия края. Затем её продифференцировать, получить срез ФРТ. Анализируя изображение, заметим, что реальные физические объекты, имеющие своими границами ступенчатые функции перепада яркостей, характеризуются некоторой величиной перепада яркостей , так что, если размытие единичной ступеньки дает интенсивность , то размытие ступеньки с контрастом дает величину . В этом случае коэффициент каждого обнаруженного края можно оценить путем нормировки . Следующий этап заключается в том, чтобы выявить "срезы" размытия края, проходящие в точках максимальных значений градиентов и получить некоторый усредненный срез

, (2.12)

где - количество выделенных "срезов" с большим градиентом.

Вначале построим локальную систему координат для оценивания профиля размытия края, который будем называть срезом. Положим в уравнении плоскости (2.3) , тогда - это "центр" плоскости. Найдем проекцию нормального вектора на плоскость , образующую с осью угол . Эта проекция не должна быть нулевой, так как мы выделили и рассматриваем плоскости с высоким градиентом

, , , ,

, , ,

где , , - углы направляющего вектора плоскости к осям , , соответственно. Таким образом, в плоскости перейдем к "развёрнутой" системе координат и, совместив с , получим

,

, (2.13)

где x^' ,y^' ,z^' – новая система координат, ассоциированная со срезом. Чтобы получить распределения яркостей среза, необходимо определить интенсивности размытого изображения по координате по направлению градиента. Чтобы уменьшить ошибку, связанную с наличием шума, следует взять несколько соседних трасс и произвести усреднение на участке (размер носителя ФРТ) (2.12). После этого сгладим данные сплайном, получим , далее проводим дифференцирование .

Для иллюстрации предложенного подхода было выбрано изображение ППЗ, полученного спутником "Ресурс" с разрешением 45х45м² в пикселе. Ввиду того, что мы не использовали данные о масштабе и геометрии снимка и не привязывались к конкретным атмосферным условиям, а иллюстрируем лишь возможности одновременного оценивания и ФРТ и размытого изображения, все размеры, в целях упрощения, приводятся в пикселах или оцифрованных отсчетах данных. Для моделирования замутнения "туманом" использовалась линейная модель свертки изображения с ФРТ в виде суммы двух гауссовых функций плотности с весами p = 0.1, q = 0.9 и среднеквадратическими отклонениями = 1.0, = 4.0 соответственно. Замутненный вариант исходного изображения приведен на рис. 2.1.а, проекция на плоскость модельной ФРТ - на рис. 2.2.а. Результат обработки замутненного изображения алгоритмом пространственного дифференцирования и выделенными градиентными перепадами радиояркостей представлен на рис. 2.1.b. Теперь необходимо декомпозировать весь наблюдаемый спектр градиентных перепадов на взвешенную сумму двух функций плотности, левая из которых является моделью класса "не градиент" (ситуация A₀) и правая – модель класса "градиент" (ситуация A₁). Распределение градиентов при A₀ восстанавливается с помощью аппроксимации Sb Джонсона, и распределение градиентов при условии A₁ - с помощью аппроксимации экстремальных значений Гумбеля. Байесово решающее правило проверки гипотез Н₀ и Н₁, построенное на этих распределениях, выделяет экстремальные градиентные перепады яркостей, рис 2.1.c. Если теперь сканировать интенсивности размытого изображения по срезам, ортогональным выделенным линиям контуров экстремальных перепадов яркостей (рис. 2.1.a), то мы получаем реализации функции размытия края, (2.12), от которых несложно перейти и к ФРТ. На рис. 2.2.b изображена проекция на плоскость восстановленной ФРТ, эти кривые отличаются по квадратичному критерию качества на 5%.

Рис. 2.1. Моделируемое замутнение – (a); градиенты замутненного изображения – (b); экстремумы градиентов – (c).

Рис. 2.3. Фрагмент исходного изображения - (а), размытое изображение - (b) и результат его восстановления - (c).

С помощью синтезированной ФРТ методом инверсной фильтрации затем восстанавливался размытый участок изображения. На рис. 2.3.с приведен результат восстановления замутненного фрагмента рис. 2.3.b, а на рис. 2.3.а, для сравнения, приведено чистое исходное изображение. Отличия размытого и чистого изображения в смысле квадратичного критерия качества составили 10%, в то время как отличия восстановленного и чистого изображения составили 4%. Это убеждает в эффективности предложенного подхода.

На первом этапе рассмотрим подход, основанный на методе преобразования гистограмм. Этот подход уместно использовать в тех случаях, когда наблюдаемое изображение подвержено искажающему влиянию полупрозрачного аэрозольного образования, кроме того, известна гистограмма распределения яркостей этого участка видеоданных, полученная в условиях хорошей видимости. Последнюю можно заменить гистограммой соседнего участка изображения, если он текстурно эквивалентен восстанавливаемому участку и не подвержен замутнению на данном снимке. Заметим, гистограмма изображения как усредненная статистическая характеристика более стабильна по сравнению с конкретной реализацией наблюдений. С учетом разрешения прибора AVHRR, когда участок ППЗ 1х1км² отображается в пиксел видеоданных, модель влияния замутнения на приземное изображение в математической форме имеет вид оператора свертки. Функция рассеяния точки для стратифицированных рассеивающих слоев, не прилегающих к отражающей поверхности, имеет дельта составляющую и медленно спадающие протяженные фронты [2], нам неизвестна.

Попытаемся описать эту ситуацию с помощью гистограмм. Будем полагать, что идеальные условия наблюдения некоторого участка поверхности Земли формируют распределение радиояркостей, описываемое гистограммой , а влияние полупрозрачного тумана приводит к искажению гистограммы , так что мы наблюдаем распределение яркости , выраженной в уменьшении динамического диапазона и смещении области определения видеоданных. Вначале для простоты изложения, будем полагать и непрерывными величинами, . Распределение радиояркостей замутненного изображения будем описывать функцией плотности вероятностей . А распределение радиояркостей идеального (эталонного) изображения будем описывать распределением . Для восстановления изображения воспользуемся преобразованиями яркостей, выражаемыми следующим образом

, , (3.1)

где - значения яркости замутненного изображения, а - чистого изображения.

Будем рассматривать класс восстанавливающих преобразований однозначных и строго монотонных на , так что и обратное преобразование , также будет строго монотонным на . Условие монотонности сохраняет порядок перехода от черного к белому в шкале яркости восстанавливаемого изображения.

Учитывая тот факт, что величины и связаны функционально, их вероятностные распределения выражаются следующим образом [3]

, (3.2)

где - обратное преобразование.

Для нахождения преобразования рассмотрим следующую двухэтапную процедуру идентификации [3]. Воспользуемся свойством интегральной функции распределения, интерпретируемой как преобразование, выравнивать частоты, а именно,

, (3.3)

где - интегральная функция распределения и величина распределена равномерно на интервале . С другой стороны по аналогии с (3.3) имеем

,

где - интегральная функция распределения, приравняв выражения , получим

, (3.4)

где обратное преобразование.

Таким образом, переходя на первом этапе к равномерному распределению яркостей по формуле (3.3), а на втором этапе – обращая преобразование , получим искомое распределение яркостей и выражение для корректирующего преобразования .

Теперь рассмотрим дискретный вариант преобразований (3.4). Пусть фрагмент оцифрованного изображения (необязательно прямоугольный) и - количество пикселов этого фрагмента. Предположим, что этот фрагмент подвержен искажающему влиянию атмосферы, а - фрагмент оцифрованных данных, снятый в "хороших" условиях видения. Этот фрагмент позволяет восстановить гистограмму .

, , (3.5)

где - число дискретных уровней яркости, - количество элементов из общего числа , имеющих уровень в дискретном изображении.

, , (3.6)

Теперь рассмотрим подход восстановления видеоданных, основанный на использовании регрессионной зависимости. Восстанавливаемые значения прогнозируемого поля будем описывать случайной величиной , а радиояркости полей, являющихся источниками прогнозирующей информации будем описывать случайным вектором , где - - мерное евклидово пространство, , - радиояркости -го канала прибора AVHRR, =5, -знак транспонирования. Взаимосвязь прогнозируемой переменной и вектора будем описывать функционалом регрессии следующего вида

, (3.7)

где - оператор математического ожидания, причем . Если существуют нижеследующие плотности вероятностей случайных величин и , то с учетом (3.7) имеем

, (3.8)

где , , - совместная плотность вероятностей случайных вектора и величины , - плотность вероятности случайного вектора , - плотность вероятности случайной величины , а - интегральная функция распределения . Если в нашем распоряжении имеется выборка попарно независимых одинаково распределенных случайных величин , где n - количество контрольных отсчетов на тестовом участке, для вычисления выражения (3.8) естественно воспользоваться непараметрическими оценками неизвестных распределений по выборочным данным [3], тогда

, (3.9)

где h - ширина окна (параметр сглаживания или масштаба), описываемого функцией . В качестве может быть взято ядро Епанечникова следующего вида, где - индикаторная функция. Возникает проблема оценивания h с учетом конкретной выборки наблюдений . Воспользуемся для оценивания h методом скользящего контроля, заключающимся в том, что строится модифицированная оценка регрессии , в которой последовательно пропускается j-ое наблюдение , . Это наблюдение в точке теперь должно быть восстановлено по всем другим наблюдениям , входящим в уравнение (3.9), наилучшим образом. Критерий качества оценивания h зависит от способности предсказывать набор значений по наборам подвыборок

, (3.10)

где - весовая функция, которую, в простейших случаях, можно и не использовать (положить равной единице). Задача оптимизации (3.10) по параметру h решается численно поисковым методом адаптации. После того, как параметр h в выражении (3.9) для конкретизирован, уравнение регрессии можно использовать для восстановления значений по наблюдаемым и для фрагмента видеоданных, закрытых облаками.

При съемке ППЗ в осенний и весенний периоды часто наблюдается следующая ситуация. В 1-ом и 2-ом спектральных каналах прибора AVHRR отмечается полупрозрачное замутнение некоторых участков видеоданных. В то же время в 3-ем, 4-ом и 5-ом каналах видим полное экранирование этих фрагментов изображений тепловыми аномалиями. Предпосылкой для использования развиваемых подходов является принцип подобия. На первом этапе восстановления таких изображений проводим коррекцию полупрозрачных участков методом преобразования гистограмм. С этой целью подбираем два текстурно-однородных фрагмента изображения, один из которых "чистый", а другой замутнен и подлежит коррекции. Оцениваем гистограммы с обоих участков и формируем зависимость (3.5), (3.6), на основании которой корректируем замутненный фрагмент. Результат коррекции приведен на рис. 3.2.a. Качество полученного изображения можно оценить по степени адекватности эталонной гистограммы и гистограммы скорректированного изображения (рис. 3.1.a, рис. 3.1.с). Следует учитывать линейчатый характер последней из гистограмм, связанный с дискретностью по яркости преобразуемого изображения. Затем восстанавливались регрессионные зависимости (3.9) на текстурно подобном незамутненном участке. Качество прогнозирования спектральных каналов на контрольном фрагменте, отличном от обучающего, составило 3,4%.

Рис. 3.2. Коррекция полупрозрачного замутнения методом преобразования гистограмм (канал 1 и 2) – (a); экранирующая тепловая аномалия в 4-ом (и 5-ом) каналах – (b); восстановление экранированного участка изображения в 4-ом (и 5-ом) каналах – (с).

Наконец, на рис. 3.2.а,b,c показан весь цикл двух этапной процедуры коррекции и восстановления. На рис. 3.2.a показан фрагмент гистограммной коррекции полупрозрачного замутнения в 1-м (2-ом) канале. На рис. 3.2.b показано экранирующее тепловое облако в 4-м (и 5-м) канале, которое в 1-м канале было полупрозрачным. Наконец, на рис. 3.2.c приведен результат восстановления изображения 4-го (5-го) канала с помощью уравнения непараметрической регрессии. В последнем случае качество восстановления оценить затруднительно, так как истинное распределение радиояркостей реконструированного участка нам неизвестно.

[1] Белов В.В., Молчунов Н.В., Протасов К.Т. Восстановление космических снимков Земли с использованием картографической информации. Оптика атмосферы и океана, 10, № 7, 1997, 800-805.

[2] Зуев В.Е., Белов В.В., Веретенников В.В. Теория систем в оптике дисперсных сред. Из-во "Спектр", Томск, 1997, 402.

[3] Протасов К.Т., Артамонов Е.С. Восстановление космических снимков подстилающей поверхности Земли на участках затенения дымкой и фрагментами облаков. Оптика атмосферы и океана. 12, № 12, 1999, 1140-1145.