Mathematical problems in geophysical investigations of solid Earth
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений
Ax = f.....................................................(1)
Задача наименьших квадратов состоит в нахождении x из условия:
|f - Ax|$_E^2$ = min$_{x}$....................(2)
Классический (восходящий к работам Лежандра и Гаусса) метод решения задачи (2) состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений:
A^TAx=A^Tf = phi.........................(3)
Но если матрица плотно заполненная, имеет большие размеры:
P = NM больше или равно 10^9
и плохо обусловленная, то этот метод безнадежно плох.
Другой метод состоит в использовании ортогонального преобразования:
|f - Ax|$_E^2$=..........................................(4)
|U^T(f-Ax)|$_E^2$=
|U^Tf-U^TAx|$_E^2$ =
|hat{phi} - Rx|$_E^2$ + |hat{phi}|$_E^2$ ,
откуда следует, что решение задачи наименьших квадратов определяется из решения системы линейных алгебраических уравнений с верхней треугольной матрицей R:
Rx = hat{phi}...........................................(5)
и при этомinf$_{x in R^M }$ |f-Ax|$_T^2$ = |hat{phi}|$_E^2$
Но и этот метод в описанном выше случае (P=NM больше или равно 10^9, A --- плохо обусловленная матрица) остается неудовлетворительным.
В докладе рассматриваются два принципиально новых метода решения задачи наименьших квадратов (один итерационный, другой, основанный на редукции задачи (1) опять-таки к задаче наименьших квадратов, но с искомым вектором z малой размерности).
В заключение обсуждается вопрос --- почему математики этих методов в свое время не нашли.
Mail to Webmaster |
|Home Page| |English Part| |
Go to Home |