Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

Построение точных решений для любой математической модели всегда представляет значительный интерес, потому что каждому точному решению, как правило, соответствует реальный процесс в исследуемой системе. Кроме того, точные решения могут быть использованы при тестировании численных алгоритмов и программ, предназначенных для расчета соответствующих моделей.

Системы диффузионных уравнений используются при описании возникновения и эволюции пространственно-временных структур в нелинейных средах различной природы [1,2]. В качестве примеров таких приложений можно привести описание основных закономерностей жизнедеятельности и развития живых организмов и их сообществ [3,4], моделирование процессов в физико-химических системах [5,6] и т.д. Известно достаточно большое количество публикаций, посвященных построению точных решений диффузионных уравнений, чего нельзя сказать о многокомпонентных системах, хотя имеется ряд работ, посвященных поиску инвариантных решений [2,7]. Необходимо также упомянуть о публикациях [8,9], в которых с помощью симметрийного подхода построены полные списки интегрируемых систем типа Шредингера.

Эффективные методы нахождения точных решений систем нелинейных диффузионных уравнений предложил О.В. Капцов [10,11,12,13]. В работе [10] описан метод, основанный на редукции двухкомпонентных систем нелинейных диффузионных уравнений к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок, позволяющий получать точные решения исследуемых систем. Там же описаны все двухкомпонентные системы полулинейных диффузионных уравнений, обладающие дифференциальными подстановками.

Обобщения некоторых структур группового анализа были предложены О.В. Капцовым в работах [11,12,13]. В частности, для построения дифференциальных связей эволюционных уравнений и систем предложено использовать линейные определяющие уравнения [13], в дальнейшем именуемые ЛОУ. Как указано в [13], эти уравнения обобщают классические определяющие уравнения, используемые для нахождения допускаемых дифференциальными уравнениями операторов.

Данная работа посвящена поиску точных решений двухкомпонентных систем уравнений типа реакция-диффузия с помощью метода ЛОУ. Зависимость коэффициентов диффузии от искомых функций считается степенной.

Следуя идеям работы [13] построены ЛОУ, соответствующие рассматриваемому классу диффузионных систем. Эти определяющие уравнения содержат набор констант, которые находятся в процессе решения ЛОУ.

Порядком решения ЛОУ называется порядок старшей производной, входящей в данное решение. В работе проведен поиск решений 1, 2 и 3-го порядков ЛОУ.

Решения первого порядка ЛОУ существуют, но приводят лишь к инвариантным решениям соответствующих систем реакция-диффузия.

С помощью найденных дифференциальных связей второго и третьего порядков построены некоторые неинвариантные решения рассматриваемых систем реакция-диффузия.

Литература.

[1] Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992.

[2] Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. -М.: Наука, 1987.

[3] Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. -М.: Мир, 1982.

[4] Фомин С.В., Беркинблит М.Б. Математические проблемы в биологии. -М.: Наука, 1973.

[5] Полак Л.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. -М.: Наука, 1983.

[6] Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания. -М.: Наука, 1974.

[7] Данилов Ю.А. Теоретико-групповые свойства математических моделей в биологии // Математическая биология развития / Под ред. Зотина А.И.. -М.: Наука, 1982, -С. 5-15.

[8] Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. -Т. 42. Вып. 4 (256). -C. 3-53.

[9] Mikhailov A.V., Shabat A.B., Sokolov V.V. The Symmetry Approach to Classification of Integrable Equations // What Is Integrability? / Editted by Zakharov V.E., Springer--Verlag, Berlin, 1991. -P. 115-183.

[10] Капцов О.В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений // Математическое моделирование. 1992. -Т. 7. №3. -С. 107-115.

[11] Капцов О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия // Математическое моделирование. 1992. -Т. 4. №8. -С. 31-46.

[12] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.

[13] Капцов О.В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей // Математический сборник. 1998. -Т. 189. №12. -С. 103-118.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск