Информационная система "Конференции"

Тезисы докладов

вычислительная математика

Введение

В конце 80-х годов прошлого столетия японским учёным Дж. Ву [4], [5] был разработан метод граничных элементов (МГЭ), который долгое время никем не повторялся.

Целью поставленной работы явилось повторение работ Ву и решение на основе МГЭ ряда нестационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.

В работе рассматривается решение уравнений Навье-Стокса в переменных: скорости – завихрённость для двумерного случая МГЭ. Особое внимание уделяется разборке граничных интегральных уравнений и их численной реализации. Обсуждаются вопросы введения двойных узлов, поиска динамических параметров для выбора шага по времени, постановки корректных граничных условий для завихрённости.

Постановка задачи

Пусть в некоторой прямоугольной области Ω, с границей Г движется вязкая невесомая несжимаемая жидкость, поведение которой описывается уравнениями Навье-Стокса [3]. В качестве переменных рассматривается вектор скорости и завихрённость. Вместо того, чтобы пытаться получить аналитическое решение уравнений для частного вида геометрии, граничных и начальных условий, построим интегральные эквиваленты.

Интегральные уравнения

Удобное интегральное представление для кинематики течения было получено Ву и Томпсоном [4], [5]. Интегральное представление для динамики течения непосредственно получается из уравнения переноса вихрей [2].

Численный метод

Пусть граница Г разбита на N элементов, область – на L треугольных ячеек, а интервал времени – на F шагов (заранее не известно). Предполагается, что на элементе и в ячейке любая функция изменяется линейно. Для повышения точности метода вводятся двойные узлы [1]. Для вычисления интегралов на элементе и на ячейке используются квадратуры Гаусса, сингулярные интегралы вычисляются аналитически. Дифференцирование функций, заданных на границе области, осуществляется по формулам 5-го порядка точности [1]. Тогда в соответствии с МГЭ для интегральных уравнений записываются дискретные уравнения, которые преобразуются в СЛУА, после решения которой выбирается шаг по времени и процедура повторяется до установления течения.

Тестовые расчёты

В качестве тестовых расчётов использовалась задача Пуазейля, имеющая аналитическое решение, задача о течении в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой и задача о течении жидкости в канале с обратным уступом. При этом наблюдалось хорошее соответствие с результатами других авторов.

В результате:

1) изучен и модифицирован МГЭ для задач вязкой жидкости, решена кинематическая и динамическая задача, задача нахождения функции вихря по заданной скорости в области, предложена методика поиска шага по времени;

2) реализована программа на языке Fortran, при этом:

a) оттестированы процедуры вычисления интегралов квадратурами Гаусса;

b) реализована технология двойных узлов;

3) найдены погрешности метода при тестировании алгоритма на задаче Пуазеля. Проведён ряд расчетов для задачи о течении жидкости в квадратной каверне и течении жидкости в канале с обратным уступом. Проведено сравнение с результатами других авторов.

Литература

[1] Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах. – Кемерово, учебное пособие, 2001.

[2] Бреббия К.,Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. – М.: Мир,1987.

[3] Лойцянский Л. Механика жидкости и газа, изд. 5. – М.: Наука, 1978.

[4] Wu J.C. Fundamental solutions and Boundary element methods. – Atlanta: Computational Mechanics Publications, Atlanta, 1987.

[5] Wu J.C. Fundamental solution and nuverical methods for flow problems. International Journal for numerical methods in fluids, vol. 4, Atlanta, 1984.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2005, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2005, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск