Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

Изучение возмущений свободных поверхностей слоев неглубоких жидкостей, текущих со сдвигом продольной скорости уже полвека интересуют специалистов в области гидромеханики (например, обзор [1]). Но в последние годы внимание к подобным исследованиям, в том числе и у специалистов по вычислительным технологиям, заметно возросло (см. книги [2–4] и процитированную в них литературу). В частности, в недавней статье [5] на основе измерений, выполненных в натурных условиях, рассмотрено влияние сдвиговых потоков на вертикальную структуру и кинематические параметры внутренних волн.

В работе [6] для плоских слабонелинейных умеренно длинных возмущений границы раздела двухслойного течения Пуазейля в горизонтальном канале приведены модельное уравнение и некоторые результаты расчетов трансформации волн различной длительности. При пренебрежении диссипативными потерями для возмущенного течения аналитически определены установившиеся решения типа кноидальных и уединенных волн. Обнаружено, что величина и направление потока способны изменять не только длины волн, но и их полярность. При учете нестационарных трений на всех границах системы решения найдены численно. В статье [7] приведен подробный вывод эволюционного уравнения для двумерных возмущений малой, но конечной амплитуды в неглубоких двухслойных течениях вязких жидкостей.

Целью данной работы является обобщение модельного уравнения на случай трехмерных возмущений и анализ численных экспериментов по трансформации волн, уединенных в пространстве.

Считалось, что, во-первых, длина волны существенно больше, а амплитуда возмущения значительно меньше равновесных глубин слоев, во-вторых, капиллярные эффекты не велики, и наконец, в-третьих, пограничные слои для возмущенной скорости остаются тонкими, т. е. время прорастания нестационарного пограничного слоя на всю толщину жидкости много больше характерного времени прохождения волны через какую-либо точку исследуемой области канала. Все эти предположения соответствуют условиям проведения экспериментов в различных гидродинамических лабораториях и позволяют упростить исходные уравнения Стокса и стандартные краевые условия на неподвижных крышке, дне и поверхности раздела слоев (т. е. условия прилипания жидкости на крышке и дне; условия непрерывности всех составляющих векторов скоростей жидкостей и касательных напряжений на границе раздела; а также кинематические условия и условие капиллярного скачка давления на этой поверхности.

В статье [7] показано, что в широком интервале отношений глубин слоев и для небольших величин установившегося гидравлического напора профили нормальных компонент скоростей жидкостей можно считать линейными по вертикальной координате. Используя эти зависимости и применяя скалярно оператор градиента к горизонтальному уравнению движения, а затем интегрируя исходные уравнения по вертикальной координате, в предположении, что нелинейные волны бегут лишь в определенном направлении, приходим к связям горизонтальных составляющих скоростей жидкостей с возмущением границы раздела, выражениям для нестационарных трений на всех границах системы и формуле для фазовой скорости длинных линейных бездиссипативных волн. В итоге получено эволюционное уравнение для возмущений границы раздела, которое учитывает не только влияние установившегося потока, но и длинноволновые вклады инерций слоев и поверхностного натяжения, слабую нелинейность возмущений и нестационарные трения на всех границах системы.

В статье [8] приведены результаты расчетов по подобному эволюционному уравнению. Они были выполнены с помощью описанной там неявной трехслойной конечно-разностной схемы второго порядка аппроксимации по всем переменным (времени и горизонтальным координатам). Отличие этих модельных уравнений заключено не только в виде коэффициентов, но и в том, что в новое уравнение входят члены со вторыми смешанными производными. Для того, чтобы избавиться от слагаемых, содержащих одну производную по времени и одну производную по горизонтальной координате, перейдем в систему отсчета. Теперь разница между новым уравнением и уравнением из статьи [8] состоит лишь в трех пунктах. В новом уравнении не учитывается наклон дна, а в уравнении из работы [6] не было слагаемых, аналогичных членам со вторыми смешанными производными по горизонтальным координатам и последнему слагаемому в правой части данного уравнения (однако схемы для них на основе центральных разностей очевидны).

Проведены вычисления эволюции одиночной слабонелинейной умеренно длинной волны. Показано, что пикообразное возмущение трансформируется в волну подковообразной формы. Наличие установившегося течения по трансверсальной координате приводит к более сильному затуханию возмущения. А изменение начального направления движения волны сказывается, в основном, на асимметрии "дужек подковы".

Ранее похожие возмущения наблюдались на поверхности стекающих пленок жидкости (см., например, [9–11]), хотя физика в двух указанных ситуациях существенно различается. Для возмущений на горизонтальной границе силой, возвращающей в положение равновесия, является гравитация, а дисперсия, в первую очередь, связана с инерцией слоев и поверхностным натяжением. Для волн же на свободной границе пленки жидкости баланс силы тяжести и трения о вертикальную твердую стенку создает установившийся поток и определяет фазовую скорость возмущений. Кроме того, если волны на такой поверхности могут двигаться лишь вниз по течению, то возмущения горизонтальной границы раздела способны бежать и против потока. Наконец, в случае волн на свободной поверхности вертикальной пленки жидкости подковообразные конфигурации могут быть стационарными (диссипация компенсируется накачкой), а затухание возмущений в горизонтальном канале принципиально не устранимо.

Список литературы

[1] Peregrine D. H. Interactions of water waves and currents // Adv. Appl. Mech. 1976. – V. 16. – P. 9–117.

[2] Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. – М.: Наука, 1996. – 240 с.

[3] Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. – 420 с.

[4] Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численое моделирование течений с поверхностными волнами. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. – 394 с.

[5] Полухин Н. В., Пелиновский Е. Н., Талипова Т. Г., Муякшин С. И. О влиянии сдвиговых течений на вертикальную структуру и кинематические параметры внутренних волн // Океанология. – 2004. – Т. 44, N 1. – С. 26–33.

[6] Архипов Д. Г., Литвиненко А. А., Хабахпашев Г. А. Численное моделирование распространения нелинейных возмущений границы раздела двухслойного течения вязкой жидкости // Материалы Международ. конф. "Вычисл. и информ. технол. в науке, технике и образовании". Алматы: Казах. нац. унив. им. аль-Фараби. – 2004. – Ч. I. – С. 197–205.

[7] Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2005. – N 1. – С. 143–158.

[8] Литвиненко А.А., Хабахпашев Г.А. Численное моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычислительные технологии. – 1999. – Т. 4, N 3. – С. 95–105.

[9] Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР. – 1978. – Т. 238, N 6. – С. 1321–1323.

[10] Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука. 1992. – 256 с.

[11] Алексеенко С. В., Антипин В. А., Гузанов В. В., Маркович Д. М., Харламов С. М. Стационарные уединенные трехмерные волны на вертикально стекающей пленке жидкости // Докл. РАН. – 2005. – Т. 405, N 2. – С. 193–195.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск