Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Аппроксимация функций и квадратурные формулы

При решении параболических и эллиптических задач в сложных областях применяют различные способы декомпозиции области на подобласти. Если соседние подобласти не перекрываются, то часто на общей части границы пересчет организуется путем использования различных типов граничных условий с разных сторон разреза. Например, для одной подобласти ставятся условия Дирихле, а для смежной к ней области задаются нормальные производные, со взаимным обменом между подобластями вычисленными значениями функции и производной. Известно, что такой способ обеспечивает лучшую сходимость, чем опирающийся на однотипные условия с перекрытием.

В данной работе рассматривается способ реализации граничных условий для декомпозиции без перекрытия, основанный на постановке на разрезах естественных условий гладкости, предложенный в [1]. В качестве таковых используется равенство нормальных производных решения на противоположных сторонах разреза. Это именно мягкие, необременительные внутренние условия, потому что при известных ограничениях мы вправе ожидать гладкости в решении, а условия равенства односторонних производных как раз и означают гладкость. При такой постановке граничных условий формально задача с декомпозицией области становится по существу частным случаем классической краевой задачи для неоднородной области с постановкой естественных условий равенства потоков на границах раздела сред. Более того, такая декомпозиция применима в равной мере и к неоднородной области, составленной из различных материалов. В последнем случае часть внутренних границ действительно разделяет различные среды, и здесь непременно требуется задавать непрерывность потока, а другая часть разделяет одинаковые среды, и здесь то же условие непрерывности потока выступает как мягкое граничное условие гладкости на фиктивной границе.

Для численного решения задачи декомпозиции может быть применен разностный метод, допускающий эквивалентную параллельную реализацию, специально разработанный для неоднородных областей [2]. Суть его состоит в непосредственной аппроксимации непрерывности потока с использованием односторонних многоточечных аналогов первой производной. Число точек выбирается исходя из требований точности. Например, для схем второго порядка точности достаточно использовать трехточечные аппроксимации производной, а для компактных схем требуются пятиточечные. Система легко расщепляется на одномерные задачи с матрицей, несколько отличной от трехдиагональной, так как среди множества трехточечных соотношений имеются многоточечные, соответствующие границам раздела, а одномерные задачи такого вида допускают параллельную реализацию [2].

1. Паасонен В.И. Параллельные алгоритмы на основе мягких внутренних граничных условий // Вычислительные технологии. – 2006. – Т. 11. – Специальный выпуск. – Ч.2. – С. 21–27.

2. Паасонен В.И. Параллельный алгоритм для компактных схем в неоднородных областях // Вычислительные технологии. – 2003. – Т. 8. – № 3. – С. 98–106.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)