Информационная система "Конференции"

Тезисы докладов

Вычислительная математика

Для непрерывно-дискретных стохастических динамических систем важной задачей является проблема фильтрации, то есть оценивания вектора состояния системы, описываемой системой стохастических дифференциальным уравнением, по зашумленным дискретным наблюдениям, поступившим вплоть до текущего момента времени. В случае линейности стохастического дифференциального уравнения и уравнения наблюдения и нормального распределения шумов часто применяемым алгоритмом является фильтр Калмана. Однако в случае, когда одно из этих предположений нарушается, то его без модификаций применять нельзя. Существуют различные модификации фильтра Калмана и множество других подходов позволяющих находить оценки.

В настоящей работе изучается подход, предложенный в [1], основанный на явном численном нахождении апостериорной плотности распределения вероятностей. Зная такую плотность, можно находить как сами оценки, например, в виде математического ожидания, дисперсионную матрицу ошибок оценивания так и другие характеристики распределения.

Важным этапом применения такого подхода является решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Поскольку данное уравнение относится к уравнениям параболического типа, то решение уравнения ФПК представляет собой весьма трудоемкую задачу в вычислительном отношении. В связи тем, что размерность стохастических динамических систем часто превышает 3, то применение традиционных численных методов таких как конечно-разностный метод, метод конечных элементов, весьма затруднительно. Как альтернативу этим методам нами было решено рассмотреть методы Монте-Карло для решения уравнения Фоккера-Планка.

Существуют две разновидности методов Монте-Карло, применимых к данной задаче, – прямой и обратный метод Монте-Карло [2, 3]. В случае прямого метода для получения решения ФПК набор стохастических дифференциальных уравнений решается в прямом времени, причем точки – начальные условия для них ¬– выбираются путем моделирования векторной случайной величины согласно начальному распределению. Для обратного метода стохастические дифференциальные уравнения решаются в обратном времени, в качестве начальных условий служат узлы сетки, в которых мы хотим получить решение уравнения ФПК. Оба этих метода имеют хорошие перспективы к параллельной реализации, что актуально в условиях широкого распространения многоядерных и многопроцессорных систем.

Каждый из этих методов имеет свои особенности, выявить которые применительно к практическим задачам представляет большой интерес. В частности, применяя прямой метод Монте-Карло, нужно учитывать, что увеличивая в K раз количество узлов на сетке, в которых ищется решение, нужно в K раз увеличить и количество реализаций случайных процессов, чтобы не увеличилась статистическая ошибка.

В нашей работе на примере реальной динамической системы сравниваются два этих метода решения уравнения ФПК путем сравнения близости получаемых оценок состояний, получаемых по вычисленной плотности, к истинному значению процесса.

Литература

[1] Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory, Academic Press, New York, 1970.

[2] Carlsson J. Accuracy and convergence of the backward Monte-Carlo method, 2001, http://arxiv.org/abs/math/0102094.

[3] Carlsson J. A backward Monte-Carlo method for solving parabolic partial differential equations, 2000, http://arxiv.org/abs/math/0010118

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:48:14)