Информационная система "Конференции"

Тезисы докладов

documentclass[12pt]{article} usepackage{amsmath} usepackage{amssymb} usepackage[cp866]{inputenc} usepackage[russian]{babel} usepackage{hhline} usepackage{graphicx} usepackage{fancyhdr} extwidth 16cm extheight 24cm opmargin -7mm hoffset -1in oddsidemargin 30mm evensidemargin 20mm fancyhead{} fancyhead[RO,LE]{ hepage} fancyfoot{} pagestyle{fancy} enewcommand{ itle}[1]{setcounter{equation}{0}igskip egin{center} Large sf #1 end{center}} enewcommand{author}[1]{{centering em #1par}igskip} enewcommand{ ablename}[1]{} ewcommand{inst}[1]{parparbox[t]{15cm}{ extsl{#1}} igskip} ewcommand{add}[2]{fancyhead[LO,RE]{#1}addcontentsline{toc}{subsection}{sc #1 em #2}} egin{document} itle{СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В НЕВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ СРЕДЕ} author{Е.,В. Ермолова, А.,Н. Крайко} inst{Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова, Москва} add{Ермолова Е.,В., Крайко А.,Н.}{СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В НЕВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ СРЕДЕ} index{Ермолова Е.,В.} index{Крайко А.,Н.} Построена полная теория структуры ударной волны (УВ) в невязкой теплопроводной среде. Хотя Рэлей (1910 г.) допустил такую ситуацию для обычного газа, однако более естественно пренебрежение вязкостью при учёте теплопроводности для <<термоядерных>> температур в десятки и сотни миллионов градусов. Для них лучистый перенос энергии (<<лучистая теплопроводность>>) неизмеримо важнее всех механизмов переноса импульса. При термоядерных температурах среда состоит из полностью ионизованных атомов, электронов и излучения, а излучение вносит определяющий вклад не только в перенос энергии, но и в давление $p$, удельные внутреннюю энергию $e$, энтальпию $h$ и энтропию $s$ среды. Если <<градус>> метит размерные величины, $ ext{Т}^{°}$ -- абсолютная температура, $ ho^{°}$, $R^{°} = c_{p}^{°} - c_{v}^{°}$, $c_{p}^{°}$ и $c_{v}^{°}$ -- плотность, газовая постоянная и теплоемкости совершенного газа -- электрически нейтральной плазмы из ионов и электронов, $c^{°}$ -- скорость света, и $sigma^{°}$ -- постоянная Стефана-Больцмана, то для равновесной смеси газа и излучения справедливы уравнения состояния cite{Kraiko:book1} egin{equation}label{Kraiko:main} p^{°}=R^{°} ho^{°} ext{T}^{°}+frac{4sigma^{°}}{3c^{°}} ext{T}^{°4},quad e^{°}=c_{v}^{°} ext{T}^{°}+frac{4sigma^{°}}{ ho^{°} c^{°}} ext{T}^{°4},quad h^{°}=e^{°}+frac{p^{°}}{ ho^{°}}=c_p^{°} ext{T}^{°}+frac{16sigma^{°}}{3 ho^{°}c^{°}} ext{T}^{°4}. end{equation} Согласно им при высоких температурах вторые слагаемые, отражающие вклад излучения, могут стать того же порядка, а затем превзойти первые. Из констант, входящих в уравнения ( ef{Kraiko:main}), и плотности газа перед УВ $ ho_{0}^{°}$, можно составить комбинации с размерностями параметров, входящих в уравнения ( ef{Kraiko:main}) и в интегральные законы сохранения, описывающие структуру УВ. Размерности температуры, скорости и давления имеют $$ ext{T}_{ ext{c}}^{°}={(R^{°} ho_{0}^{°} c^{°})}^{1/3}/{(4 sigma^{°})}^{1/3},quad u_{ ext{c}}^{°}=R^{°2/3}{( ho_{0}^{°}c^{°})}^{1/6}/{(4 sigma^{°})}^{1/6}, quad p_{ ext{c}}^{°}={{R^{°4} ho_{0}^{°4}c^{°}/{(4sigma^{°})} } }^{1/3}. $$ egin{table}[!h] centering caption{Значения $ ext{T}_{ ext{c}}^{°}$, $u_{ ext{c}}^{°}$ и $p_{ ext{c}}^{°}$ для некоторых газов} $$ egin{array}{|c|c|c|c|c|c|} hline ext{Газ} & ho_{0}^{°} ( extit{г}/ extit{см}^{3})&0.01&0.1&1&10 hline & ext{T}_{ ext{c}}^{°}(° ext{К})&6.02*10^6&1.30*10^7&2.80*10^7&6.02*10^7hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{H}_{1}^{1}&u_{ ext{c}}^{°}( extit{м}/ extit{с})&3.15*10^5&4.62*10^5&6.79*10^5&9.96*10^5hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} &p_{ ext{c}}^{°}( extit{Па})&9.93*10^{11}&2.14*10^{13}&4.61*10^{14}&9.93*10^{15} hline & ext{T}_{ ext{c}}^{°}(° ext{К})&6.04*10^6&1.30*10^7&2.80*10^7&6.04*10^7hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{D}_{2}^{1}&u_{ ext{c}}^{°}( extit{м}/ extit{с})&2.00*10^5&2.93*10^5&4.30*10^5&6.31*10^5hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} &p_{ ext{c}}^{°}( extit{Па})&3.98*10^{11}&8.58*10^{12}&1.85*10^{14}&3.98*10^{15}hline & ext{T}_{ ext{c}}^{°}(° ext{К})&4.19*10^6&9.02*10^6&1.94*10^7&4.19*10^7hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{Tr}_{3}^{1}&u_{ ext{c}}^{°}( extit{м}/ extit{с})&1.52*10^5&2.24*10^5&3.28*10^5&4.82*10^5hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} &p_{ ext{c}}^{°}( extit{Па})&2.32*10^{11}&5.00*10^{12}&1.08*10^{14}&2.32*10^{15} hline & ext{T}_{ ext{c}}^{°}(° ext{К})&4.35*10^6&9.38*10^6&2.02*10^7&4.35*10^7hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{He}_{4}^{2}&u_{ ext{c}}^{°}( extit{м}/ extit{с})&1.65*10^5&2.42*10^5&3.55*10^5&5.22*10^5hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} & p_{ ext{c}}^{°}( extit{Па})&2.71*10^{11}&5.84*10^{12}&1.26*10^{14}&2.71*10^{15} hline & ext{T}_{ ext{c}}^{°}(° ext{К})&3.45*10^6&7.44*10^6&1.60*10^7&3.45*10^7hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{He}_{8}^{2} ext{ --}&u_{ ext{c}}^{°}( extit{м}/ extit{с})&1.04*10^5&1.52*10^5&2.23*10^5&3.29*10^5hhline{~|- -|- -|- -|- -|- -|} ext{<>}&p_{ ext{c}}^{°}( extit{Па})&1.08*10^{11}&2.32*10^{12}&4.99*10^{13}&1.08*10^{15} hline end{array} $$ label{mytab} end{table} Значения $ ext{T}_{ ext{c}}^{°}$, $u_{ ext{c}}^{°}$ и $p_{ ext{c}}^{°}$ для трёх изотопов водорода и двух изотопов гелия при разных плотностях $ ho_{ ext{0}}^{°}$ приведены в таблице. Взяв $ ext{T}_{ ext{c}}^{°}$, $p_{ ext{c}}^{°}$ и $ ho_{ ext{c}}^{°}= ho_{ ext{0}}^{°}$ в качестве масштабов, получим уравнения состояния в безразмерной форме egin{equation}label{Kraiko:2} p= ho ext{T}+frac{ ext{T}^4}{3},quad h=frac{1+varepsilon}{2varepsilon} ext{T}+frac{4 ext{T}^4}{3 ho},quad varepsilon=frac{gamma-1}{gamma+1},quad gamma=frac{c_{p}}{c_{v}}. end{equation} Согласно им в данной термодинамической модели разные среды различаются лишь показателем адиабаты газа $gamma$ или константой $varepsilon$. Значениям $1legammale3$ отвечают $0levarepsilonle0.5$. Если $a$ -- скорость звука,то для уравнений состояния ( ef{Kraiko:2}) egin{equation}label{Kraiko:3} a^{2} equiv {left( frac{partial p} {partial ho} ight)}_{s}=frac{9(1+varepsilon) ho^{2} +8varepsilon(5 ho+4 ext{T}^{3}) ext{T}^3}{9 ho[(1-varepsilon) ho+ 8varepsilon ext{T}^{3}]} ext{T}. end{equation} Пусть УВ покоится, $D$ -- скорость набегающего потока, а прочие его параметры, как и $ ho_0 = 1$, метятся индексом <<0>>. Тогда с учётом формулы ( ef{Kraiko:3}) egin{equation}label{Kraiko:4} 0 le a_{0}^{2} le D^2 le infty, quad a_0^{2}=frac{1+varepsilon+8(5+4sigma)varepsilon sigma}{1-varepsilon+24varepsilonsigma} ext{T}_0, quad sigma=frac{ ext{T}_0^{3}}{3}. end{equation} Равенства $ ext{Т}_0 = 0$, $sigma = 0$ и $a_0 = 0$, выполняющиеся одновременно, соответствуют <<холодному фону>>, когда с учётом приведённых в таблице значений $ ext{T}_{ ext{c}}^{°}$ при термоядерных температурах за УВ $ ext{T}_0$ и $p_0$ настолько малы, что ими можно пренебречь. В таком приближении при любой конечной скорости $D$ число Маха $Mequiv D/a_0=infty$, и УВ оказывается сильной. В рамках принятой модели анализ структуры УВ подразумевает выяснение её особенностей для $0levarepsilonle0.5$, $0lesigmaleinfty$ и $a_{0}le Dleinfty$. Анализ включал три этапа. Сначала были рассмотрены случаи, для которых температуры достаточно велики для преобладания эффектов лучистой теплопроводности, но ещё такие, что за УВ $ ext{Т}^{3}ll3 ho$. В таких случаях в уравнениях ( ef{Kraiko:2}) можно пренебречь вторыми слагаемыми, и как следствие этого в числителях и знаменателях формул ( ef{Kraiko:3}) и ( ef{Kraiko:4}) опустить слагаемые, пропорциональные $ ext{T}^3$ и $sigma$. В таком приближении, рассмотренном ещё Рэлеем, для каждого $varepsilon$ структура УВ определяется величиной отношения $t_0 = ext{T}_0/D^2$. С ростом $D$ от $a_0$ до $infty$ оно уменьшается от $(1-varepsilon)/(1+varepsilon)$ до нуля. При $(1-2varepsilon)/(1+2varepsilon)> и изотермический скачок (ИС) -- разрыв, на котором рвутся все параметры потока, кроме температуры cite{Kraiko:book1},cite{Kraiko:book2}. За ИС параметры не изменяются. При $t_{0}=(1-2varepsilon)/(1+2varepsilon)$ ИС нет, но непрерывная структура есть только перед УВ. Из сказанного следует, что при $varepsilon=0.5$, чему отвечает $gamma=3$, в данном приближении ИС нет при любых $D$. На втором этапе для среды с уравнениями состояния ( ef{Kraiko:2}) исследовалась структура УВ, распространяющейся по <<холодному фону>> ($p_{0}= ext{Т}_{0}=a_{0}=sigma=0$). Здесь при каждом $varepsilon$ структура УВ определяется тем, меньше или больше скорость $D$ известной <<критической>> величины $D_{*}(varepsilon)$. При $0D_{*}(varepsilon)$ структура УВ непрерывная с конечным предвестником и асимптотическим выходом на постоянные параметры за УВ. Если $D=D_{*}(varepsilon)$, то ИС нет, а непрерывная структура -- конечный предвестник перед УВ. В сжатой форме такие же выводы содержатся в работе В.,А. Белоконя cite{Kraiko:Article1}. В общем случае тёплого или горячего набегающего потока ($sigma>0$), используются полные уравнения состояния ( ef{Kraiko:2}) и формулы для скорости звука. В этом приближении найдена монотонно и неограниченно растущая при $varepsilon o 0$ функция $sigma_{**}(varepsilon)$ такая, что при $sigmagesigma_{**}(varepsilon)$ ИС нет ни при каких $a_0(sigma,varepsilon)le D leinfty$, т.е. структура УВ непрерывная и асимптотическая с обеих сторон от волны. Для $sigmaD_{*1}(sigma, varepsilon)>a_0(sigma, varepsilon)$, определяющие структуру УВ. Если $a_0(sigma, varepsilon)D_{*2}(sigma, varepsilon)$, то, как и при $sigmagesigma_{**}(varepsilon)$, структура УВ непрерывная и асимптотическая с обеих сторон от волны. Для $D_{*1}(sigma, varepsilon)>, когда $D = D_{*1}(sigma, varepsilon)$ или $D = D_{*2}(sigma, varepsilon)$, ИС нет, но асимптотическая структура есть только перед УВ. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08-01-00178) и в рамках Программы поддержки ведущих научных школ (НШ-3876.2008.1). egin{thebibliography}{99} ibitem{Kraiko:book1} Зельдович Я.,Б., Райзер Ю.,П. {emФизика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.} М.: Наука, 1966. 686 с. ibitem{Kraiko:book2} Ландау Л.,Д., Лифшиц Е.,М. {emТеоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика.} М.: Наука, 1986. 733 с. ibitem{Kraiko:Article1} Белоконь В.,А. {emВлияние радиации на амплитуду изотермического скачка.} ДАН СССР. 1972. Т.,202. №,6. С.,1296--1299. ibitem{Kraiko:Article2} Баутин С.,П. {emБегущая волна в теплопроводном невязком газе.} Докл. РАН. 2006. Т.,407. №,3. С.,335-340. end{thebibliography} end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:45)