Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Статистическое моделирование и методы Монте-Карло

Во многих областях науки требуется построение геометрических моделей объектов исследования. В частности, одной из актуальных задач является автоматическая генерация адаптивных сеток различной структуры на поверхности и внутри двумерных или трехмерных тел. Среди разнообразного множества подходов к генерации адаптивных сеток можно выделить дискретно-стохастический подход, основанный на использовании таких стохастических нейросетевых моделей самоорганизации, как самоорганизующиеся карты Кохонена (Self-Organizing Maps, SOM), растущий нейронный газ (Growing Neural Gas, GNG), растущие клеточные структуры (Growing Cell Structures, GCS) [1]. Принципы самоорганизации, заложенные в этих моделях, позволяют строить сетки с произвольными начальными данными и автоматической расстановкой узлов по границе физической области; стохастическая природа моделей снимает требования с функции плотности сетки, т.к. плотность контролируется вероятностным распределением; внутренний параллелизм, присущий нейросетевым моделям, делает возможным эффективно распараллеливать алгоритмы построения адаптивных сеток.

Основная идея, лежащая в основе перечисленных моделей самоорганизации, заключается в том, что в области генерируются случайные точки, и узлы строящейся сетки сдвигаются к этим точкам с учетом заранее заданной функции сдвигов. Распределение плотности получающейся сетки соответствует вероятностному распределению для генерации очередной случайной точки. Во многих работах [1-2] показано, что при таком случайном процессе происходит минимизация функционала, отвечающего условию: каждому узлу результирующей сетки соответствует одинаковое (с точностью до заданной погрешности) количество элементов выборки из вероятностного распределения, заданного требуемой функцией плотности сетки.

В традиционных методах, как правило, адаптация сеток к заданной функции плотности понимается в смысле эквираспределения [3], который заключается в том, что произведение якобиана отображения, задающего сетку, на функцию плотности сетки должно быть постоянно. Целью данной работы является доказательство того, что минимизация функционала в моделях дискретно-стохастического подхода приводит к выполнению аналога принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для этой сетки. В доказательстве произведения площадей ячеек Вороного на значения функции плотности вероятностного распределения оцениваются одной и той же константой с точностью, зависящей от размера выборки и количества узлов сетки. Таким образом, показывается принципиальная возможность получения нужного сгущения сетки при использовании дискретно-стохастического подхода.

Литература

1. Kohonen T. Self-organizing Maps // Springer Series in Information Sciences, V.30, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2001, 501 p.
2. B. Fritzke. Some competitive learning methods. Technical report, Systems Biophysics, Inst. for Neural Comp., Ruhr-Universität Bochum, April 1997
3. Лебедев А.С., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток. // Вычислительные технологии. Том 7, №3, 2002. с. 29

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)