Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Пленарные доклады

Как известно, метод декомпозиции области (МДО) в современной интерпретации есть способ получения эффективных предобусловливателей для итерационных методов решения краевых задач и их сеточных аппроксимаций. Их достоинством является возможность глубокого распараллеливания вычислений и применения для каждой из подзадач, соответствующих декомпозиции, наиболее подходящего для ее решения быстрого численного метода. Сокращением BPS, содержащим первые буквы фамилий авторов, в литературе обозначают хорошо известный эффективный и весьма общий предобусловливатель МДО Брэмбла, Пасьяка и Шатца, предложенный в известной серии статей [1, 1986-1989]. Со времени своего появления он послужил прототипом для создания целого семейства предобусловливателей МДО типа Дирихле-Дирихле как для $h$, так и $hp$ конечно-элементных дискретизаций эллиптических уравнений второго порядка. Для исходной версии предобусловливателя BPS, предназначенной для $h$ дискретизаций, авторы доказали оценку ${mc O}(1+log^2 H/h)$ относительного числа обусловленности, где $H/h$ -- максимальное отношение характерного размера подобласти декомпозиции к характерному размеру заданной на ней конечно-элементной сетки. Подобласти декомпозиции предполагались образами кубов при некоторых классах отображений. Позже в случае дискретизаций элементами-тетраэдрами аналогичные оценки были доказаны для более общих декомпозиций области, определяемых посредством вложенных разреженных квазиоднородных тетраэдральных сеток. Эти результаты, сопровождавшиеся разработкой адекватного математического аппарата анализа, с наибольшей полнотой суммированы в книге Тозелли и Видлунда [4, 2005], см. кроме того обзор Корнеева и Лангера [2, 2004]. В данной работе мы рассматриваем $h$ дискретизации и далее расширяем круг допустимых декомпозиций, см. Корнеев [3, 2010]. Допускаются подобласти декомпозиции, являющиеся образами конечного числа выпуклых многогранников единичного диаметра, удовлетворяющих определенным условиям регулярности формы. При этом неособенные непрерывнно дифференцируемые их отображения должны удовлетворять ограничениям на изменения угловых характеристик. Ключевым моментом анализа BPS-предобусловливателя является анализ предобусловливания интефейсной задачи, значительноно усложнившийся для рассматриваемого более широкого класса декомпозиций. Мы упрощаем также доказательство "абстрактной" оценки влияния декомпозиции на подобласти на число относительной обусловленности. Для полученного BPS-предобусловливателя доказывается оценка числа относительной обусловленности с такой же в существенном зависимостью от параметров декомпозиции области и конечно-элементной дискретизации, как в вышеприведенной оценке.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Bramble JH, Pasciak JE and Schatz AH. The construction of preconditioners for elliptic problems by substructuring, Part I. Math. Comp. 1986; 47(175):103--134.

Part II. Math. Comp. 1987; 49(179):1--16.

Part III. Math. Comp. 1988; 51(184):415--430.

Part IV. Math. Comp. 1989; 53(187):1--24.

[2] Korneev V and Langer U. Domain Decomposition Methods and Preconditioning. In: Encyclopedia of Computational Mechanics, V.1. E. Stein, R. de Borst and Th.J.R. Hudges eds. 2004 John Wiley & Sons, Ltd.: 617--647.

[3] Korneev V.G. On BPS type domain decomposition preconditioner for for finite element discretizations of 3-d elliptic equations. Лобачевские чтения 2010. Материалы Всероссийского семинара для молодых ученых, 01.10 - 0.5.10 2010 г. Изд-во КГУ, Казань, 2010: 1-41.

[4] Toselli A and Widlund O. Domain Decomposition Methods -- Algorithms and Theory. Springer, 2005: xv+450.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)