Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Пленарные доклады

Хорошо известные разностные схемы на равномерных сетках, разработанные для регулярных задач, весьма эффективны; они позволяют строить схемы высокого порядка точности, использовать экономичные методы решения сеточных задач. Естественно желание использовать эти методы для решения сингулярно возмущенных задач (с малым параметром ε, ε ∈ (0,1], при старшей производной в дифференциальном уравнении), выбирая шаг сетки достаточно малым. Казалось бы, для “хороших” компьютеров это не должно бы вызывать проблем. Однако, это не так. Так, в случае модельной задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции-диффузии “естественная” классическая разностная схема на равномерной сетке, при условии ее сходимости (при N  >> ε⁻¹, величина N определяет число узлов в сетке по x), не является ε-равномерно (равномерно относительно параметра ε) хорошо обусловленной. Как следствие, при решении задачи с требуемой точностью при стремлении ε к нулю необходимо неограниченно увеличивать N  (N ≥ ε^−2/3 ─ для устойчивости схемы) и использовать компьютер с неограниченно растущим числом разрядов машинного слова (из-за потери значащих цифр). Но это невозможно в реальных вычислениях.

В настоящей работе для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии строится и исследуется разностная схема, основанная на методе декомпозиции сеточного решения. В этом методе регулярная и сингулярная компоненты сеточного решения являются решениями сеточных подзадач, решаемых на равномерных сетках. Построенная схема сходится ε-равномерно в равномерной норме и, кроме того, эта схема ε-равномерно хорошо обусловлена и ε-равномерно устойчива к возмущению данных сеточной задачи, в частности, к возмущениям, возникающим в процессе решения задачи на компьютере.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-00726).

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)