Информационная система "Конференции"

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Пусть $Omega$ - единичный квадрат $(0,1) imes (0,1)$ с границей $Gamma$. В работе рассматривается двумерная задача Дирихле для уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной: egin{eqnarray} &-varepsilonDelta u(x,y)+ b(x)u^prime(x,y) + c(x,y)u(x,y) = f(x,y), quad (x,y)in Omega,& onumber[-2mm] label{abstr1}[-2mm] &u=0,quad (x,y)in Omega,& onumber end{eqnarray} Наличие малого параметра, характеризующего диффузию, приводит к решениям типа пограничного слоя с быстрым ростом производных вблизи некоторых участков границы. В результате стандартные методы конечных элементов и конечных разностей на равномерной сетке дают либо неустойчивые схемы, либо схемы с неудовлетворительной точностью при малых значениях параметра диффузии. Для преодоления этих трудностей предложено множество подходов. Условно их можно разделить на два класса. Первый класс составляют различные методы подгонки, ко второму классу следует отнести приемы, использующие стандартные методы на неравномерных сетках, априорно заданных или апостериорно адаптируемых в процессе численного интегрирования. При априорной адаптации сетки, как правило, используются кусочно-равномерные или кусочно-гладкие фрагменты сетки внутри пограничного слоя и вне его. Повышение точности разностных решений на основе метода Ричардсона при использовании таких сеток неэффективно. Дело в том, что разрыв производных порождающей функции приводит к дополнительным вычислительным пограничным слоям в месте разрыва этих производных с амплитудой $h$, $h^2$, $h^3$ и т.д. В работе предложена технология сгущения сетки, дающая гладкую порождающую функцию. Для схемы с направленными разностями на построенной сетке доказан и подтвержден первый порядок точности. Но применение экстраполяции Ричардсона решений задач на трех сетках приводит к повышению точности до третьего порядка. В принципе, метод допускает обобщение для получения численных решений любого наперед заданного порядка точности. Проведены численные эксперименты, подтвердившие теоретические заключения и жизнеспособность метода.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:45:20)