Информационная система "Конференции"

Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании

Усть-Каменогорск, Казахстан, 11-14 сентября 2003 года

Тезисы докладов

Замораживание матрицы Якоби в ( 3, 2)- методе третьего порядка точности

Новиков Е.А., Двинский А.Л.

Институт вычислительного моделирования СО РАН,
г. Красноярск

В [1] предложены одношаговые методы решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в дальнейшем стали называть методами типа Розенброка. Данные численные формулы получены из полуявных методов типа Рунге-Кутта, в которых при решении нелинейной системы алгебраических уравнений, возникающей при реализации, используется одна итерация метода Ньютона. В результате в методах типа Розенброка при вычислении каждой стадии требуется решить линейную систему алгебраических уравнений. Требуемая точность вычислений достигается за счет подходящего выбора величины шага интегрирования. Достоинством таких методов является простота реализации на ЭВМ, а недостатком - проблемы с использованием одной матрицы Якоби на нескольких шагах интегрирования. Дело в том, что в таких численных формул матрица Якоби внесена непосредственно в численную схему и поэтому влияет на порядок точности. Известно [2], что нельзя построить метод типа Розенброка с замораживанием матрицы Якоби выше второго порядка точности. Поэтому, в случае большой размерности системы ОДУ, данные схемы эффективны только при расчетах с небольшой точностью. Кроме того, нельзя построить L-устойчивый метод такого типа с k вычислениями правой части системы ОДУ выше k-го порядка точности.

В [3] предложен класс (m, k)-методов, реализация которых столь же проста, как и методов Розенброка, но для которых достаточно просто решается проблема замораживания матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Числа m и k определяют вычислительные затраты на шаг интегрирования: m - число стадий, k - число вычислений правой части системы ОДУ. Для этих методов при k равном 1, 2 и 3 известно, что максимальный порядок L-устойчивой численной формулы равен (k+2).

Здесь построен (3, 2)-метод третьего порядка точности, который можно применять с замораживанием матрицы Якоби. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного алгоритма интегрирования переменного шага.

Литература

[1] Rosenbrock H.H.Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations // Computer, №5, 1963. - p. 329-330.

[2] Novikov V.A., Novikov E.A., Umatova L.A. Frezing of the Jacobi matrix in the Rosenbrock type method of the second order accuracy // In proc. BAIL-IV Conf., Bool Press, 1986. - p. 380-386.

[3] Новиков Е.А., Шитов Ю.А., Шокин Ю.И. Одношаговые безитерационные методы решения жестких систем // ДАН СССР, т. 301, №6, 1988. - с.1310-1314.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии
Обратная связь

[Головная страница]
[Конференции]