«ВЫЧИСЛИМОСТЬ В ЕВРОПЕ»
В июньские дни в итальянском университетском городке Сиена проводилась третья конференция «Вычислимость в Европе». Ее название повторяет известный международный проект «Computability in Europe», объединяющего такие крупные научные центры, как Новосибирск, Казань, Лидс (Англия), Хайдельберг (Германия), Сиена (Италия), ряд университетов США и др.
Галина Шпак, «НВС»
На конференцию приехали из разных мест специалисты в области вычислительной математики, математической логики, теоретической информатики — Computer Science. Большая программа, естественно, поддержана деньгами соответствующего комитета Евросоюза. Новосибирский научный центр на этой конференции представляла группа научных сотрудников Института математики СО РАН, а его директор, академик Юрий ЕРШОВ выступал в качестве приглашенного докладчика.
— CiE (Computability in Europe) — это довольно широкая инициатива, — уточнил Ю. Ершов в беседе с корреспондентом «НВС». — Под эгидой этого направления ежегодно проводятся большие конференции и довольно много специализированных. Третья большая конференция собрала порядка 280 участников. Среди приглашенных докладчиков были известные математики: американцы Дейна Скотт, Роберт Соар, Анил Нероуд. Заинтересовал аудиторию физик и математик Роджер Пенроуз. Он известен своими книгами «Новый ум короля» и «Тени разума» (фактически уточненное и дополненное издание первой книги), кстати, переведенными на русский язык. Автор попытался понять теорему Гёделя о неполноте, которая до сих пор волнует многих людей. Он изучил и проинтерпретировал эту теорему. Словом, пленарные доклады были посвящены широким панорамам, широкому фронту теоретических исследований. Доклад А. Нероуда посвящался так называемым гибридным системам, в конечном итоге связанным с теорией управления. Подобными работами у нас занимаются в Иркутске в Институте динамики систем и теории управления.
Профессор Р. Соар посвятил свое выступление исторической теме — роли Алана Тьюринга в этой проблеме, в том числе, обратил внимание на так называемый тезис Черча и пытался доказать, что такового не существовало. Скорее нужно говорить о тезисе Тьюринга, который, в отличие от других, придумал математическую модель вычислительной машины еще в середине тридцатых годов прошлого века. Его математическая машина в каком-то смысле оказалась прообразом реальных вычислительных машин. Известно, что Тьюринг стоял у истоков создания вычислительных машин в Англии. А во время второй мировой войны математик прославился тем, что «разбивал» немецкие коды, так что даже стал национальным героем Великобритании. И, наконец, профессор Д. Скотт в своем докладе с философских позиций рассматривал возможные перспективы развития теории вычислимости и вычислительной техники.
Доклады специалистов по информатике — Computer Science, посвященные вычислимости в биологии и физике, были интересны с точки зрения новых возможных сфер применения определенных биологических и физических законов для нахождения новых способов вычислений. Обсуждались вопросы быстродействия современных компьютерных систем и пределы роста скорости, а, следовательно, и производительности машин. В частности, обсуждались возможности квантовой механики и физики черных дыр.
— В смысле моделирования?
— Нет, вычислимости, в качестве вычислительных устройств, как и биологические способы… Существуют теоретические и явные границы в реальных системах, работающих параллельно, а новые физические и биологические способы позволяют, как утверждается, очень сильно распараллеливать машины и, тем самым, увеличивать их быстродействие в решении задач. Но реально пока ничего подобного нет. Есть какие-то простейшие опыты по созданию квантовых компьютеров… Теоретические работы по созданию биологических компьютеров за счет биологических реакций довольно интересны. Как бы в один котел запускаются запрограммированные ДНК, и по биологическим законам они склеиваются по-разному… Эту теоретическую модель люди мечтают воплотить. Изучаются теоретические возможности такого способа вычислений. Достаточно любопытно, но до практики довольно далеко. Хотя некоторые вещи возможно использовать, как высказался один американский биолог. Он прочитал три лекции, устроил «тьюторинг», нечто вроде обучения, о том, что сейчас понятно и проэкспериментировано. Например, можно использовать биологические автоматы для создания некоторых наноструктур. Так что исследования увязываются с самым модным сейчас направлением в физике… Кроме пленарных докладов, на конференции работало пять параллельных секций.
— Что-нибудь было такого, занозистого?
— Для математиков всегда важно, как расставлены акценты, даже в тех случаях, когда обсуждаются не всегда новые результаты. Для специалистов Computer Science конференция была весьма полезна. Надеюсь, что и мой пленарный доклад был полезным.
— HF-computability — что это значит по-русски?
— Это некая теоретическая модель вычислений, вычислимость на наследственно-конечных надстройках. В теории вычислений существует общепринятое понятие — что значат вычислимые функции. Имеются в виду вычислимые функции с натуральными числами. Есть функции с натуральными аргументами — один, два, три, четыре, пять и т.д., и натуральные значения. Каждую такую функцию можно вычислить на машине, т.е. можно построить программу, и она будет вычислять соответствующую функцию. Но есть объекты весьма далекие от натуральных чисел. Например, вещественные числа — то, чем физики пользуются. То же число «пи». Их слишком много. Как производить вычислимость? Один из универсальных способов — использование нумераций. Теорией нумераций я много лет занимался. Мы отображаем натуральные числа на объекты, и у каждого появляется номер. Это уже число, и с ним можно работать. Но вещественных чисел, как уже говорилось, слишком много, их нельзя занумеровать… И что такое вычислимость в таких объектах — это в некоторой степени и теоретическая проблема, и один из вопросов: каким образом вычислять? Один из подходов — использование так называемых допустимых множеств. Среди допустимых множеств наследственно конечные надстройки являются наименьшими допустимыми множествами, и они доставляют некоторый универсальный способ — как определить вычислимость над объектами произвольной природы. Сейчас обсуждаются и другие подходы. Я рассказал о вычислимости в таких специальных допустимых множествах. Эта теория достаточно успешно развивается у нас в Институте математики, в т.ч. молодыми людьми, работающими не только в Новосибирске. В нашей лаборатории, которой руководит Андрей Морозов, работают два моих ученика — кандидаты наук Вадим Пузаренко и Алексей Стукачев. И я сотрудник этой лаборатории. Кстати, мои ученики были участниками конференции и соавторами моего пленарного доклада.
— Отражает ли содержание доклада ваши основные работы?
— На самом деле этот доклад основан на обзоре, который мы завершаем вместе с моими учениками и опубликуем в «Математических трудах» и за рубежом. В обзоре обобщаются и старые, и новые результаты в области HF-вычислимости. Моя задача на конференции была двоякой. Во-первых, напомнить, что этой математической проблемой мы занимаемся давно — лет двадцать тому назад начали строить теоретическую модель. А, во-вторых, показать, что работает довольно активная группа людей не только в Академгородке, но и в Казани, например, которые получили свежие результаты. Моя задача была скорее пропагандистская. На конференции обсуждались разные теоретические модели вычислимости над произвольными объектами. И я хотел подчеркнуть, что наша модель еще себя не исчерпала. Она вполне содержательна, и есть новые результаты.
— Юрий Леонидович, как сопрягаются математическая логика и вычислимость?
— Лозунг конференции в Сиене — «Вычислимость и логика в реальном мире».Отвечая на один из вопросов после моего доклада, я сказал по поводу этого лозунга, что вычислимость в реальном мире безусловно существует, а вот что касается логики в реальном мире… Говоря серьезно, математическая теория вычислимости — это просто часть математической логики. С другой стороны, вычислительные науки имеют свое видение предмета. Раньше почти не было контактов между специалистами по математической логике и специалистами по информатике. Развитие шло параллельно. А такие конференции по вычислимости объединяют и математиков, и информатиков различных направлений.
— Можно ли найти мостик от абстрактной математики к реальному миру, ведь она не сама по себе, или она самодостаточна?
— Может, и сама по себе.
— Так вот, мостик, ведущий к производству вычислительных систем, суперкомпьютеров… Какую роль играет математика?
— Всегда трудно определить… В таких случаях я привожу такой пример. Если посмотреть исторически, кто стоял у истоков создания вычислительных машин, — это знаменитые математики Тьюринг, Джон фон Нейман, Норберт Винер и Лаврентьев Михаил Алексеевич, которые начинали свою профессиональную деятельность как чистые математики.
— И прекрасный Сергей Лебедев!
— Лебедева Лаврентьев привлек. Эти люди начинали свою деятельность не просто как чистые математики. За исключением Лаврентьева, они занимались математической логикой. Причем, аксиоматической теорией множеств. А Михаил Алексеевич начинал свою деятельность как специалист по дескриптивной теории множеств. Он из школы Лузина Николая Николаевича. Собственно, математическая логика в России произошла как раз от Лузина и его школы.
Само создание вычислительных машин связано с развитием идей математической логики. Потом вычислительные науки стали самостоятельными. А сейчас происходит возврат, или синтез идей. Вычисление на машинах — большая деятельность, требующая своего теоретического осмысления. Одно время вычислители строили свою науку независимо от логиков, но в какой-то момент произошло понимание, что математическая логика не так уж далека. Современная математическая логика черпает задачи, возникающие в вычислительной математике. По крайней мере, некоторые вопросы можно решать вместе. Как раз мой ученик Пузаренко уехал на пять месяцев в Сиену по гранту ИНТАС. Он работает с профессором Сорби, одним из главных деятелей программы «Вычислимость в Европе», который сотрудничает с Сергеем Савостьяновичем Гончаровым. Гончаров участвовал активно в числе организаторов третьей конференции, но не смог приехать. Так совпало, что в НГУ в июньские дни проводились выборы ректора университета. Но его ученики и аспиранты побывали в Сиене. С математиками университета Сиены у нас много совместных работ по разным грантам.
— Интересно, как же математики совместно работают?
— Для меня это так же странновато, а вот Гончаров считает, что для него наиболее продуктивна коллективная деятельность. У него много коллективных работ, иногда по 3-4 соавтора. Они в каком-то месте собираются вместе, разговаривают, обсуждают… Может быть, некоторые вопросы в таком режиме — вместе — можно решить быстрее, чем в одиночку. И все-таки есть вещи, которые без индивидуального, долгого и глубокого обдумывания не решить. Если кому-то удается коллективный труд — ради бога…
— Между прочим, в XVIII в. некоторые математики увлекались и говорили о возможности алгебраического доказательства существования бога. Правда, эту анекдотичную легенду пустил в оборот, как считается, английский математик Де Морган уже в XIX веке. А в наши дни пытаются найти сближение науки и религии? Спрашиваю из любопытства.
— Покойный академик С. В. Гольдин довольно удачно сформулировал в одной из своих статей, что такое духовный опыт человека. Он говорит, что есть три, может быть, достаточно независимых направления духовной деятельности, развития личности. Первое, это — научная, интеллектуальная. Вторая — эстетическая. И третья — религиозная. Эти три независимые духовные ипостаси в разной степени привлекают индивидуального человека. Одних привлекает только наука, других — наука и искусство. Кого-то — наука и религия. Хотя, насколько я понимаю, есть люди науки глубоко верующие, но они не пытались соединить одно с другим. По-моему, Вернадский был верующим и знаменитый офтальмолог Филатов… Может быть, на уровне философии возможен определенный синтез. Философия изучает и религиозно-мистический опыт… Я не встречал людей, работающих в точных науках, в математике, которые пытались бы связать свой научный и религиозный опыт.
— А как с математической истиной? Вы упомянули книгу «Тени разума». Нельзя ли более подробно рассказать о ее содержании?
— Сэр Пенроуз хочет убедить исследователей в том, что современной физики недостаточно. Должна появиться еще новая физика. И пытается обосновать свою посылку, в том числе утверждая, как заметил Гёдель, что постижение математической истины неалгоритмично. Главный его постулат в том, что человек постигает истину не только с помощью рассуждений и наблюдений, а существуют какие-то другие механизмы, нечто типа озарений. Обоснования и ссылки на Гёделя не очень убедительны. Утверждать, что существует другой способ постижения истины, в отличие от точного математического знания, по крайней мере, некорректно. Правда, в своем докладе на конференции он был более аккуратен. Важно, что он разобрался в аргументах Гёделя. Кстати, мы эту книгу обсуждали вместе с сотрудниками Института философии, у Целищева. Наш совместный семинар работает уже два года. Обсуждали и не согласились с автором.
— Юрий Леонидович, готовится ли к печати ваша новая книга?
— Мы в Институте математики занимаемся сейчас изданием трудов наших классиков. В сентябре будет отмечаться пятидесятилетие нашего института. К этому событию приурочен выход очередных томов избранных трудов Сергея Львовича Соболева и Александра Даниловича Александрова. Только что вышел в свет первый том трудов А. Александрова — очень хорошее издание. Будут издаваться математические труды лауреата Нобелевской премии Леонида Витальевича Канторовича, который работал в нашем институте. Торжества откроются недельной конференцией.
стр. 3
|
